Use as regras de derivação para derivar cada função.
y=\frac{\sqrt{e{x}-1}}{e{x}+1}

Passo 1

O enunciado pede para derivar
y = raize^x-1e^x+1
O conteúdo envolvido é a aplicação da regra do quociente e da regra da cadeia, pois temos uma raiz composta com e^x.

Passo 2

Defina
u(x) = raize^x-1 = (e^x-1)^tfrac12, v(x) = e^x+1
Pela regra do quociente,
y' = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)l(v(x)r)^2

Passo 3

Calcule u'(x) usando a regra da cadeia. Como u(x) = (e^x-1)^1/2, temos
u'(x) = tfrac12 (e^x-1)^-tfrac12cdot ddx(e^x-1) = 12raize^x-1;e^x

Passo 4

Calcule v'(x). Como v(x)=e^x+1,
v'(x) = e^x

Passo 5

Substituindo em
y' = e^x2raize^x-1,(e^x+1);-;raize^x-1,e^x(e^x+1)^2,
coloque o numerador sobre um mesmo denominador 2raize^x-1:
num = e^x(e^x+1) - 2,e^x(e^x-1)2raize^x-1 = e^xe^x + e^x -2e^xe^x +2e^x2raize^x-1 = -e^2x +3e^x2raize^x-1

Passo 6

Logo,
y' = -e^2x +3e^x2raize^x-1,(e^x+1)^2 = e^x(3 - e^x)2raize^x-1,(e^x+1)^2

Resposta

y' = e^x(3 - e^x)2raize^x-1,(e^x+1)^2

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