17-18 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
17. \int_{0}^{\pi / 6} \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{3} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi
18. \int_{0}^{2 \pi} \int_{\pi / 2}^{\pi} \int_{1}^{2} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \varphi d \theta

Passo 1

Vou listar claramente o que cada enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
Para o exercício 17:
  • A integral dada é
\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3}\rho^{2}\sin\varphi\\ d\rho\\ d\theta\\ d\varphi.
  • O enunciado pede: (a) esboçar o sólido cuja volume é dado por essa integral; (b) calcular o valor da integral (isto é, o volume).
Para o exercício 18:
  • A integral dada é
\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\int_{1}^{2}\rho^{2}\sin\varphi\\ d\rho\\ d\varphi\\ d\theta.
  • O enunciado pede: (a) esboçar o sólido correspondente; (b) calcular o volume (valor da integral).
Informações relevantes que temos (retiradas diretamente das integrais):
  • Nas integrais as variáveis são \rho, \varphi, \theta com os seguintes intervalos para cada exercício:
    • Ex. 17: \;0\le \rho\le 3,\;0\le \theta\le \pi/2,\;0\le \varphi\le \pi/6.
    • Ex. 18: \;1\le \rho\le 2,\;0\le \theta\le 2\pi,\;\pi/2\le \varphi\le \pi.
  • O integrando é \rho^{2}\sin\varphi, que é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 2

Aula rápida e didática sobre coordenadas esféricas (o que cada variável significa e por que o integrando aparece assim).
  • Definições (modo geométrico, intuitivo):
    • \rho é a distância do ponto à origem (raio).
    • \varphi é o ângulo polar medido desde o eixo z positivo (ou seja, \varphi=0 aponta para o eixo +z e \varphi=\pi aponta para -z).
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x (como no uso usual de coordenadas polares).
  • Elemento de volume:
    • Em coordenadas esféricas, um pequeno paralelepípedo curvo tem volume aproximado \rho^{2}\sin\varphi\\ d\rho\\ d\varphi\\ d\theta. Por isso o integrando \rho^{2}\sin\varphi aparece: é o jacobiano da mudança de coordenadas.
  • Interpretação dos limites:
    • Limites em \rho definem quão longe do centro vai o sólido (raio mínimo e máximo).
    • Limites em \varphi definem um cone em torno do eixo z (intervalos pequenos em \varphi representam cones com meia- abertura dada por esse intervalo).
    • Limites em \theta definem uma “fatia” em torno do eixo z (por exemplo, \theta de 0 a \pi/2 corresponde ao quadrante I no plano xy).

Passo 3

Resolução e esboço do sólido do exercício 17 — descrição geométrica (esboço mental) e interpretação dos limites.
  • O intervalo \;0\le \rho\le 3\; indica uma bola de raio 3 centrada na origem, se não houvesse outras restrições.
  • O intervalo \;0\le \varphi\le \pi/6\; limita os pontos ao cone em torno do eixo +z com meia-abertura \pi/6. Em palavras: é a região acima do plano perpendicular ao eixo z limitada por um cone que tem vértice na origem e faz ângulo \pi/6 com o eixo +z.
  • O intervalo \;0\le \theta\le \pi/2\; corta essa região em uma “fatia” correspondente ao primeiro quadrante do plano xy.
  • Portanto o sólido é: uma fatia (em \theta) do setor cônico (em \varphi) de raio 3. Visualize: pegue o cone com ângulo \pi/6, corte um quarto em torno do eixo z (porque \theta vai de 0 a \pi/2), e limite tudo até \rho=3. É como um pedaço de “laranja” porém em formato de cone truncado até a ponta (a ponta está na origem).
Como esboçar rapidamente (passos práticos para a prova):
  1. Desenhe o eixo z vertical e o plano xy.
  2. Desenhe o cone com vértice na origem que forma ângulo \pi/6 com o eixo z (bem afiado; \pi/6\approx 30^\circ).
  3. Marque a superfície esférica de raio 3.
  4. Corte a região com duas linhas radiais no plano xy que delimitam \theta=0 e \theta=\pi/2 (isto é, eixos x positivo e y positivo) — isso mostra a fatia no primeiro quadrante.
  5. A região que sobra é o sólido desejado.

Passo 4

Cálculo da integral do exercício 17, passo a passo (sem pular etapas).
A integral é
\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3}\rho^{2}\sin\varphi\\ d\rho\\ d\theta\\ d\varphi.
Integramos na ordem dada. Primeiro em \rho:
\int_{0}^{3}\rho^{2}\\ d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{3}=\frac{27}{3}=9.
Agora a integral fica
\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{\pi/2} 9\sin\varphi\\ d\theta\\ d\varphi.
A função não depende de \theta, então a integração em \theta simplesmente multiplica pelo comprimento do intervalo em \theta, que é \pi/2:
\int_{0}^{\pi/2} 9\sin\varphi\\ d\theta = 9\sin\varphi\cdot\left(\frac{\pi}{2}\right).
Portanto resta integrar em \varphi:
\int_{0}^{\pi/6} 9\cdot\frac{\pi}{2}\sin\varphi\\ d\varphi = \frac{9\pi}{2}\int_{0}^{\pi/6}\sin\varphi\\ d\varphi.
Calcule a integral de \sin\varphi:
\int_{0}^{\pi/6}\sin\varphi\\ d\varphi = \left.-\cos\varphi\right|_{0}^{\pi/6} = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos 0 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}.
Multiplicando:
\text{Volume}_{17} = \frac{9\pi}{2}\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Podemos simplificar escrevendo num só quociente:
\text{Volume}_{17} = \frac{9\pi(2-\sqrt{3})}{4}.

Passo 5

Resolução e esboço do sólido do exercício 18 — descrição geométrica e interpretação dos limites.
  • O intervalo \;1\le \rho\le 2\; indica uma casca esférica: pontos com distância entre 1 e 2 da origem (não inclui o centro; é um “anel” esférico entre as esferas de raio 1 e 2).
  • O intervalo \;\pi/2\le \varphi\le \pi\; limita \varphi à metade inferior da esfera (ângulos que vão de 90^\circ até 180^\circ), ou seja, a região abaixo do plano xy — toda a semiesfera inferior.
  • O intervalo \;0\le \theta\le 2\pi\; dá rotação completa em torno do eixo z, ou seja, não há corte em \theta — é todo o círculo azimutal.
  • Portanto o sólido é: a metade inferior (abaixo do plano xy) da casca esférica entre as esferas de raio 1 e 2. Visualize: a casca esférica (entre raios 1 e 2) e tome apenas a parte que está abaixo do plano xy.
Como esboçar rapidamente:
  1. Desenhe duas esferas concêntricas (raio 1 e raio 2).
  2. Trace o plano xy; sombreie a parte inferior das cascas entre as duas esferas.
  3. A região sombreada é o sólido procurado.

Passo 6

Cálculo da integral do exercício 18, passo a passo.
A integral é
\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\int_{1}^{2}\rho^{2}\sin\varphi\\ d\rho\\ d\varphi\\ d\theta.
Primeiro integramos em \rho:
\int_{1}^{2}\rho^{2}\\ d\rho = \left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{1}^{2} = \frac{8-1}{3} = \frac{7}{3}.
Agora a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi} \frac{7}{3}\sin\varphi\\ d\varphi\\ d\theta.
Integramos em \varphi:
\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\varphi\\ d\varphi = \left.-\cos\varphi\right|_{\pi/2}^{\pi} = -\cos\pi + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -(-1) + 0 = 1.
Então o factor da integral em \varphi é 1, restando a integração em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{7}{3}\cdot 1\\ d\theta = \frac{7}{3}\cdot(2\pi) = \frac{14\pi}{3}.
Portanto o volume do sólido do exercício 18 é \dfrac{14\pi}{3}.

Resposta

  1. \dfrac{9\pi(2-\sqrt{3})}{4}
  2. \dfrac{14\pi}{3}

Exercícios relacionados