17-18 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
17. \int_{0}^{\pi / 6} \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{3} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi
18. \int_{0}^{2 \pi} \int_{\pi / 2}^{\pi} \int_{1}^{2} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \varphi d \theta
Passo 1
Vou listar claramente o que cada enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
O integrando é \rho^{2}\sin\varphi, que é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 2
Aula rápida e didática sobre coordenadas esféricas (o que cada variável significa e por que o integrando aparece assim).
Definições (modo geométrico, intuitivo):
\rho é a distância do ponto à origem (raio).
\varphi é o ângulo polar medido desde o eixo z positivo (ou seja, \varphi=0 aponta para o eixo +z e \varphi=\pi aponta para -z).
\theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x (como no uso usual de coordenadas polares).
Elemento de volume:
Em coordenadas esféricas, um pequeno paralelepípedo curvo tem volume aproximado \rho^{2}\sin\varphi\\ d\rho\\ d\varphi\\ d\theta. Por isso o integrando \rho^{2}\sin\varphi aparece: é o jacobiano da mudança de coordenadas.
Interpretação dos limites:
Limites em \rho definem quão longe do centro vai o sólido (raio mínimo e máximo).
Limites em \varphi definem um cone em torno do eixo z (intervalos pequenos em \varphi representam cones com meia- abertura dada por esse intervalo).
Limites em \theta definem uma “fatia” em torno do eixo z (por exemplo, \theta de 0 a \pi/2 corresponde ao quadrante I no plano xy).
Passo 3
Resolução e esboço do sólido do exercício 17 — descrição geométrica (esboço mental) e interpretação dos limites.
O intervalo \;0\le \rho\le 3\; indica uma bola de raio 3 centrada na origem, se não houvesse outras restrições.
O intervalo \;0\le \varphi\le \pi/6\; limita os pontos ao cone em torno do eixo +z com meia-abertura \pi/6. Em palavras: é a região acima do plano perpendicular ao eixo z limitada por um cone que tem vértice na origem e faz ângulo \pi/6 com o eixo +z.
O intervalo \;0\le \theta\le \pi/2\; corta essa região em uma “fatia” correspondente ao primeiro quadrante do plano xy.
Portanto o sólido é: uma fatia (em \theta) do setor cônico (em \varphi) de raio 3. Visualize: pegue o cone com ângulo \pi/6, corte um quarto em torno do eixo z (porque \theta vai de 0 a \pi/2), e limite tudo até \rho=3. É como um pedaço de “laranja” porém em formato de cone truncado até a ponta (a ponta está na origem).
Como esboçar rapidamente (passos práticos para a prova):
Desenhe o eixo z vertical e o plano xy.
Desenhe o cone com vértice na origem que forma ângulo \pi/6 com o eixo z (bem afiado; \pi/6\approx 30^\circ).
Marque a superfície esférica de raio 3.
Corte a região com duas linhas radiais no plano xy que delimitam \theta=0 e \theta=\pi/2 (isto é, eixos x positivo e y positivo) — isso mostra a fatia no primeiro quadrante.
A região que sobra é o sólido desejado.
Passo 4
Cálculo da integral do exercício 17, passo a passo (sem pular etapas).
Resolução e esboço do sólido do exercício 18 — descrição geométrica e interpretação dos limites.
O intervalo \;1\le \rho\le 2\; indica uma casca esférica: pontos com distância entre 1 e 2 da origem (não inclui o centro; é um “anel” esférico entre as esferas de raio 1 e 2).
O intervalo \;\pi/2\le \varphi\le \pi\; limita \varphi à metade inferior da esfera (ângulos que vão de 90^\circ até 180^\circ), ou seja, a região abaixo do plano xy — toda a semiesfera inferior.
O intervalo \;0\le \theta\le 2\pi\; dá rotação completa em torno do eixo z, ou seja, não há corte em \theta — é todo o círculo azimutal.
Portanto o sólido é: a metade inferior (abaixo do plano xy) da casca esférica entre as esferas de raio 1 e 2. Visualize: a casca esférica (entre raios 1 e 2) e tome apenas a parte que está abaixo do plano xy.
Como esboçar rapidamente:
Desenhe duas esferas concêntricas (raio 1 e raio 2).
Trace o plano xy; sombreie a parte inferior das cascas entre as duas esferas.
A região sombreada é o sólido procurado.
Passo 6
Cálculo da integral do exercício 18, passo a passo.