1. Calcule \iiint_{E} x^{2} d V, onde E é limitado pelo plano x z e pelos hemisférios y=\sqrt{9-x^{2}-z^{2}} \mathrm{e} y=\sqrt{16-x^{2}-z^{2}}.
  2. Calcule \iiint_{E} x y z d V, onde E está entre as esferas \rho=2 \mathrm{e} \rho=4 e acima do cone \varphi=\pi / 3.
  3. Encontre o volume da parte da bola p \leqslant a que está entre os cones \varphi=\pi / 6 e \varphi=\pi / 3.
  4. Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a a seu centro.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e quais são as informações dadas.
  • Problema 25: Calcular \iiint_{E} x^{2}\,dV, onde E é limitado pelo plano x z (ou seja, pelo plano y=0) e pelos hemisférios
    y=\sqrt{9-x^{2}-z^{2}}\quad\text{e}\quad y=\sqrt{16-x^{2}-z^{2}}.
    Informações importantes extraídas do enunciado:
    • As superfícies dadas são hemisférios superiores das esferas de raio 3 e 4 centradas na origem.
    • A região E é a “casca” entre as esferas de raios 3 e 4, apenas com y\ge0 (o hemisfério superior em relação ao plano y=0).
  • Problema 26: Calcular \iiint_{E} x y z\,dV, onde E está entre as esferas \rho=2 e \rho=4 e acima do cone \varphi=\pi/3.
    Informações:
    • Em coordenadas esféricas: 2\le\rho\le4, 0\le\varphi\le\pi/3 (acima do cone), 0\le\theta\le2\pi.
  • Problema 27: Encontrar o volume da parte da bola \rho\le a que está entre os cones \varphi=\pi/6 e \varphi=\pi/3.
    Informações:
    • Região esférica com 0\le\rho\le a, \pi/6\le\varphi\le\pi/3, 0\le\theta\le2\pi.
  • Problema 28: Encontrar a distância média de um ponto em uma bola de raio a ao seu centro.
    Informações:
    • Queremos a média (valor esperado espacial) da distância radial \rho sobre o volume da bola de raio a.
    • Volume da bola é \dfrac{4}{3}\pi a^{3}.
Agora começo a resolução detalhada e didática de cada problema.

Passo 2

Observações sobre coordenadas esféricas (a “aula” básica que vamos usar, mastigada):
  • Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho (distância ao centro), \varphi (ângulo do eixo z, com 0 no polo norte) e \theta (ângulo azimutal no plano xy): x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • O elemento de volume é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Vantagem: superfícies esféricas ficam em \rho= constante; cones são \varphi= constante; planos como y=0 ficam em \theta=0 ou \theta=\pi (ou seja, dividem o intervalo de \theta).

Passo 3

Resolução do problema 25 — estabelecimento das coordenadas e dos limites:
  • Identificamos que E é a região onde 9\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le16 (entre esferas de raios 3 e 4) e com y\ge0.
  • Em esféricas: \rho varia de 3 a 4; a condição y\ge0 equivale a \sin\theta\ge0, ou seja \theta\in[0,\pi]; \varphi varre todo [0,\pi] (não há restrição em relação a z).
  • Resumo dos limites: 3\le\rho\le4,\qquad 0\le\varphi\le\pi,\qquad 0\le\theta\le\pi.

Passo 4

Resolução do problema 25 — escrever o integrando em esféricas e simplificar:
  • Temos x=\rho\sin\varphi\cos\theta, então x^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta.
  • O integrando com o elemento de volume fica x^{2}\,dV=\rho^{2}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta\cdot \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\rho^{4}\sin^{3}\varphi\cos^{2}\theta\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • A integral tripla separa em produto de integrais: \iiint_{E} x^{2}\,dV =\left(\int_{3}^{4}\rho^{4}\,d\rho\right) \left(\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi\right) \left(\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right).

Passo 5

Resolução do problema 25 — calcular cada um dos três integrais:
  1. Integral em \rho: \int_{3}^{4}\rho^{4}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{5}}{5}\right|_{3}^{4}=\frac{4^{5}-3^{5}}{5}=\frac{1024-243}{5}=\frac{781}{5}.
  2. Integral em \theta:
    Usar identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. \int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{0}^{\pi} =\frac{1}{2}\cdot\pi=\frac{\pi}{2}.
  3. Integral em \varphi: calcular \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi.
    • Escreva \sin^{3}\varphi=\sin\varphi(1-\cos^{2}\varphi).
    • Faça u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0, u=1; quando \varphi=\pi, u=-1.
    \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi =\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi-\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos^{2}\varphi\,d\varphi.
    • Primeiro termo: \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = 2.
    • Segundo termo com a substituição: \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos^{2}\varphi\,d\varphi =-\int_{1}^{-1}u^{2}\,du=\int_{-1}^{1}u^{2}\,du=\left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{-1}^{1}=\frac{2}{3}.
    • Logo \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi = 2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 6

Resolução do problema 25 — multiplicar os resultados:
  • Juntando tudo: \iiint_{E} x^{2}\,dV =\frac{781}{5}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{\pi}{2}.
  • Simplificando: \frac{781}{5}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{781\cdot4\cdot\pi}{5\cdot3\cdot2} =\frac{1562\pi}{15}.

Passo 7

Resolução do problema 26 — escolha de coordenadas e limites:
  • Já que os limites são \rho=2 e \rho=4 e um cone \varphi=\pi/3, é natural usar coordenadas esféricas.
  • Limites: 2\le\rho\le4,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{3},\qquad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 8

Resolução do problema 26 — expressão do integrando em esféricas:
  • Em esféricas: x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi.
  • Então x y z = \rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta.
  • Multiplicando por dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta obtemos o integrando total \rho^{5}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta.

Passo 9

Resolução do problema 26 — avaliar a integral angular que zera:
  • A integral completa é \iiint_{E} x y z\,dV =\int_{2}^{4}\rho^{5}\,d\rho \int_{0}^{\pi/3}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\,d\varphi \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.
  • Observe o fator angular em \theta: \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta=0,porque \sin(2\theta) tem média zero em um período completo.
  • Portanto a integral total é zero, por simetria (o integrando é ímpar em \theta sobre um período completo).

Passo 10

Resolução do problema 27 — escrever a integral de volume em esféricas:
  • Região: 0\le\rho\le a, \pi/6\le\varphi\le\pi/3, 0\le\theta\le2\pi.
  • Volume dado por V=\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/6}^{\pi/3}\int_{0}^{a}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 11

Resolução do problema 27 — calcular os integrados passo a passo:
  1. Integral em \rho: \int_{0}^{a}\rho^{2}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{a}=\frac{a^{3}}{3}.
  2. Integral em \theta: \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
  3. Integral em \varphi: \int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi =\left.-\cos\varphi\right|_{\pi/6}^{\pi/3} =-\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{6} =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{\sqrt{3}-1}{2}.
  • Multiplicando: V=\frac{a^{3}}{3}\cdot 2\pi\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{2}=\frac{\pi a^{3}}{3}(\sqrt{3}-1).

Passo 12

Resolução do problema 28 — definir a média e calcular:
  • A distância média \overline{r} de um ponto da bola ao centro é \overline{r}=\frac{1}{\text{Vol(Bola)}}\iiint_{\text{Bola}}\rho\,dV,onde \rho é a distância radial (em esféricas \rho mesmo).
  • Volume da bola de raio a é \mathrm{Vol}=\dfrac{4}{3}\pi a^{3}.
  • Calcular o numerador: \iiint_{\text{Bola}}\rho\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a}\rho\cdot\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\left(\int_{0}^{a}\rho^{3}\,d\rho\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right).
  • Calcular cada parte: \int_{0}^{a}\rho^{3}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{a}=\frac{a^{4}}{4},
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=2,\qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
  • Assim o numerador é \frac{a^{4}}{4}\cdot 2\cdot 2\pi = \pi a^{4}.
  • Portanto a média é \overline{r}=\frac{\pi a^{4}}{\tfrac{4}{3}\pi a^{3}}=\frac{3a}{4}.

Resposta

\dfrac{1562\pi}{15}
0
\dfrac{\pi a^{3}}{3}\,(\sqrt{3}-1)
\dfrac{3a}{4}

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