- Calcule
, onde
é limitado pelo plano
e pelos hemisférios
.
- Calcule
, onde
está entre as esferas
e acima do cone
.
- Encontre o volume da parte da bola
que está entre os cones
e
.
- Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio
a seu centro.
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e quais são as informações dadas.
-
Problema 25: Calcular
, onde é limitado pelo plano (ou seja, pelo plano ) e pelos hemisférios Informações importantes extraídas do enunciado:- As superfícies dadas são hemisférios superiores das esferas de raio
e centradas na origem. - A região
é a “casca” entre as esferas de raios e , apenas com (o hemisfério superior em relação ao plano ).
- As superfícies dadas são hemisférios superiores das esferas de raio
-
Problema 26: Calcular
, onde está entre as esferas e e acima do cone .
Informações:- Em coordenadas esféricas:
, (acima do cone), .
- Em coordenadas esféricas:
-
Problema 27: Encontrar o volume da parte da bola
que está entre os cones e .
Informações:- Região esférica com
, , .
- Região esférica com
-
Problema 28: Encontrar a distância média de um ponto em uma bola de raio
ao seu centro.
Informações:- Queremos a média (valor esperado espacial) da distância radial
sobre o volume da bola de raio . - Volume da bola é
.
- Queremos a média (valor esperado espacial) da distância radial
Agora começo a resolução detalhada e didática de cada problema.
Passo 2
Observações sobre coordenadas esféricas (a “aula” básica que vamos usar, mastigada):
- Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
(distância ao centro), (ângulo do eixo , com no polo norte) e (ângulo azimutal no plano ): - O elemento de volume é
- Vantagem: superfícies esféricas ficam em
constante; cones são constante; planos como ficam em ou (ou seja, dividem o intervalo de ).
Passo 3
Resolução do problema 25 — estabelecimento das coordenadas e dos limites:
- Identificamos que
é a região onde (entre esferas de raios e ) e com . - Em esféricas:
varia de a ; a condição equivale a , ou seja ; varre todo (não há restrição em relação a ). - Resumo dos limites:
Passo 4
Resolução do problema 25 — escrever o integrando em esféricas e simplificar:
- Temos
, então - O integrando com o elemento de volume fica
- A integral tripla separa em produto de integrais:
Passo 5
Resolução do problema 25 — calcular cada um dos três integrais:
- Integral em
: - Integral em
:
Usar identidade . - Integral em
: calcular .- Escreva
. - Faça
, então . Quando , ; quando , .
- Primeiro termo:
- Segundo termo com a substituição:
- Logo
- Escreva
Passo 6
Resolução do problema 25 — multiplicar os resultados:
- Juntando tudo:
- Simplificando:
Passo 7
Resolução do problema 26 — escolha de coordenadas e limites:
- Já que os limites são
e e um cone , é natural usar coordenadas esféricas. - Limites:
Passo 8
Resolução do problema 26 — expressão do integrando em esféricas:
- Em esféricas:
- Então
- Multiplicando por
obtemos o integrando total
Passo 9
Resolução do problema 26 — avaliar a integral angular que zera:
- A integral completa é
- Observe o fator angular em
: porque tem média zero em um período completo. - Portanto a integral total é zero, por simetria (o integrando é ímpar em
sobre um período completo).
Passo 10
Resolução do problema 27 — escrever a integral de volume em esféricas:
- Região:
, , . - Volume dado por
Passo 11
Resolução do problema 27 — calcular os integrados passo a passo:
- Integral em
: - Integral em
: - Integral em
:
- Multiplicando:
Passo 12
Resolução do problema 28 — definir a média e calcular:
- A distância média
de um ponto da bola ao centro é onde é a distância radial (em esféricas mesmo). - Volume da bola de raio
é . - Calcular o numerador:
- Calcular cada parte:
- Assim o numerador é
- Portanto a média é