27-28 Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.
27.
28.
29. Quando estudam a formação de cordilheiras, os geólogos estimam a quantidade de trabalho necessária para erguer uma montanha a partir do nível do mar. Considere uma montanha que tenha essencialmente o formato de um cone circular reto. Suponha que a densidade do material na vizinhança de um ponto
seja
e a altura seja
.
27.
28.
29. Quando estudam a formação de cordilheiras, os geólogos estimam a quantidade de trabalho necessária para erguer uma montanha a partir do nível do mar. Considere uma montanha que tenha essencialmente o formato de um cone circular reto. Suponha que a densidade do material na vizinhança de um ponto
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e quais informações o enunciado dá (não vou resolver nada ainda).
-
Questão 27: calcularInformações dadas (peguei todas do enunciado): a região de integração em
é o disco de raio (porque vai de a e de a ), e para cada o varia de até . O integrando é . -
Questão 28: calcularInformações dadas (peguei todas do enunciado): a região de projeção no plano
é a meia-disco de raio com (porque vai de a e de a ). Para cada , vai de até . O integrando é . -
Questão 29: o enunciado diz que a montanha é um cone circular reto, que a densidade perto de um ponto
é e que a altura é . O enunciado parece incompleto (não diz explicitamente qual expressão final deseja). Vou apontar essa omissão e então escrever a expressão padrão que geólogos/físicos usam para o trabalho de erguer a montanha, e trabalhar um caso concreto (cone com densidade constante) para ficar didático.
Passo 2
Explicação didática sobre coordenadas cilíndricas (o que são e por que usar aqui) — isto vale para 27 e 28.
-
Coordenadas cilíndricas: definimosonde
, é o ângulo no plano e é a altura usual. Aqui . -
Jacobiano: ao mudar de
para aparece o fator (é a razão de mudança de volume infinitesimal). Portanto um elemento de volume tridimensional em cilíndricas é -
Quando temos integrais em regiões circulares (discos, setores, cones cujas superfícies são dadas por
em função de , etc.) as coordenadas cilíndricas simplificam muito porque vira e os limites angulares costumam ser constantes.
Passo 3
Resolvendo a Questão 27 — identificação da região e mudança para cilíndricas.
-
A projeção no plano
é o disco de raio : isto veio do enunciado onde varia entre e e entre e . Em coordenadas cilíndricas isso corresponde a e (o disco inteiro). -
O limite inferior para
é (peguei isso do enunciado) e o limite superior é . Logo -
O integrando
em cilíndricas é . Multiplicando pelo Jacobiano obtemos o integrando total em : -
Montando a integral em cilíndricas:
Passo 4
Cálculo da integral do item 27, passo a passo, e observação de simetria.
-
Integramos primeiro em
: -
A integral restante é
-
Observe que a parte que depende de
é . Como os limites angulares cobrem o círculo inteiro ( a ), temos Portanto a integral dupla inteira vale(produto de algo que não depende de por uma integral angular que é zero). -
Interpretação física/geométrica rápida (útil na prova): o integrando original
é ímpar em (se trocar muda de sinal) e a região de integração é simétrica em relação ao eixo (ou seja, o disco é simétrico em ). Isso já nos permite concluir que a integral deve ser por simetria, sem cálculo adicional.
Passo 5
Resposta do item 27 (conclusão curta antes de passar ao item 28).
- Portanto a integral do item 27 é
.
Passo 6
Resolvendo a Questão 28 — identificação da região e mudança para cilíndricas.
-
A projeção no plano
é a meia-disco de raio com (peguei isso do enunciado: , ). Em coordenadas cilíndricas isso corresponde a e (meia volta, porque dá entre e ). -
O limite em
é (peguei isso do enunciado). -
O integrando
vira . Multiplicando pelo Jacobiano obtemos . -
Portanto a integral em cilíndricas é
Passo 7
Cálculo da integral do item 28, passo a passo.
-
Integramos primeiro em
: -
A integral reduz-se a
-
A integral em
é trivial ( não aparece no integrando), dá um fator : -
Agora calcule a integral em
: Calcule os termos:Escrevendo com denominador: -
Multiplicando pelo fator
da integração em , a integral vale
Passo 8
Conclusão e interpretação do resultado do item 28.
- Portanto a integral do item 28 é
. Uma observação física/computacional: o integrando era radial ( ), a região era um sólido com topos definidos por , então a conversão para cilíndricas e a presença do do jacobiano tinham o efeito de transformar a integral numa integral unidimensional em fácil de calcular.
Passo 9
Tratamento do item 29 — enunciado incompleto, explicação do que se pode fazer e formulação padrão.
-
O enunciado fornecido está incompleto: ele apresenta a situação (montanha em forma de cone circular reto, densidade local
, e uma função altura ) mas não especifica explicitamente qual é a quantidade a ser encontrada (por exemplo: “escrever a integral que dá o trabalho para erguer a montanha a partir do nível do mar” seria a formulação típica). Como não foi explicitado, não há um único “resultado numérico” a calcular. Por isso eu não posso “resolver” um valor final sem que se diga exatamente o que pedir (por exemplo, se querem a expressão para o trabalho, ou a massa total, ou um caso com densidade constante). No entanto, posso dar: (a) a expressão padrão e geral que se usa para o trabalho de erguer material até certa altura, e(b) um exemplo completo e bastante comum: o caso da montanha como cone de raioe altura com densidade constante , e calcular explicitamente o trabalho necessário para erguer esse cone a partir do nível do mar.
Passo 10
Expressão geral para o trabalho (fórmula padrão, didática).
- Para cada elemento de volume
localizado em com densidade (massa por volume) (peguei isso do enunciado), a massa desse elemento é . Para erguer essa massa contra a gravidade até uma elevação (altura que precisa ser vencida), o trabalho diferencial é onde é a aceleração gravitacional (constante; use se for necessário um número). Assim a expressão geral para o trabalho total é a integral de volume Essa é a forma padrão: soma (integral) dos trabalhos de cada pedacinho do corpo.
Passo 11
Caso concreto e didático: cone reto com densidade constante
. Montagem do modelo e cálculo do trabalho.
-
Modelo geométrico (escolhas para ficar explícito):
- Tomar o eixo
vertical. - Base do cone está no nível do mar em
. - Apex (pico) do cone está em
. - O raio da base no
é . - Densidade constante:
(constante).
Com estas escolhas, um ponto do cone tem coordenadas cilíndricascom e para cada o raio máximo da seção transversal é porque a seção é linear entree . - Tomar o eixo
-
Para cada elemento de volume
localizado a altura , a massa é e a energia (trabalho) necessária para erguer esse pedaço até a altitude é (a altura a vencer é porque se partimos do nível do mar e colocamos o material naquela altura , foi preciso levantar até ). -
A integral total do trabalho é então
Passo 12
Cálculo explícito do caso do cone com densidade constante
(integração passo a passo).
-
Integramos em
: -
Substituindo e integrando em
(que dá ): -
Fazer a mudança de variável
facilita: , , . Então -
Calcular a integral:
-
Portanto
-
Observação prática e de verificação rápida: a massa total do cone é
e o centro de massa do cone fica a uma altura acima da base; então o trabalho também pode ser obtido por , que confirma o resultado.
Resposta
-
-
-
Formulação geral:
.\newline
Para o caso do cone reto de raio, altura e densidade constante : .