27-28 Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.
27. \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2} x z d z d x d y
28. \int_{-3}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{9-x^{2}-y^{2}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d z d y d x
29. Quando estudam a formação de cordilheiras, os geólogos estimam a quantidade de trabalho necessária para erguer uma montanha a partir do nível do mar. Considere uma montanha que tenha essencialmente o formato de um cone circular reto. Suponha que a densidade do material na vizinhança de um ponto P seja g(P) e a altura seja h(P).

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e quais informações o enunciado dá (não vou resolver nada ainda).
  • Questão 27: calcular
    \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2} x z \,d z\,d x\,d y.
    Informações dadas (peguei todas do enunciado): a região de integração em x,y é o disco de raio 2 (porque x vai de -\sqrt{4-y^{2}} a \sqrt{4-y^{2}} e y de -2 a 2), e para cada (x,y) o z varia de z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} até z=2. O integrando é x z.
  • Questão 28: calcular
    \int_{-3}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{9-x^{2}-y^{2}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \,d z\,d y\,d x.
    Informações dadas (peguei todas do enunciado): a região de projeção no plano xy é a meia-disco de raio 3 com y\ge 0 (porque y vai de 0 a \sqrt{9-x^{2}} e x de -3 a 3). Para cada (x,y), z vai de 0 até 9-x^{2}-y^{2}. O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Questão 29: o enunciado diz que a montanha é um cone circular reto, que a densidade perto de um ponto P é g(P) e que a altura é h(P). O enunciado parece incompleto (não diz explicitamente qual expressão final deseja). Vou apontar essa omissão e então escrever a expressão padrão que geólogos/físicos usam para o trabalho de erguer a montanha, e trabalhar um caso concreto (cone com densidade constante) para ficar didático.

Passo 2

Explicação didática sobre coordenadas cilíndricas (o que são e por que usar aqui) — isto vale para 27 e 28.
  • Coordenadas cilíndricas: definimos
    x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
    onde r\ge 0, \theta é o ângulo no plano xy e z é a altura usual. Aqui \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r.
  • Jacobiano: ao mudar de d x\,d y para r\,d r\,d\theta aparece o fator r (é a razão de mudança de volume infinitesimal). Portanto um elemento de volume tridimensional em cilíndricas é
    dV = d x\,d y\,d z = r\,d r\,d\theta\,d z.
  • Quando temos integrais em regiões circulares (discos, setores, cones cujas superfícies são dadas por z em função de r, etc.) as coordenadas cilíndricas simplificam muito porque \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira r e os limites angulares \theta costumam ser constantes.

Passo 3

Resolvendo a Questão 27 — identificação da região e mudança para cilíndricas.
  • A projeção no plano xy é o disco de raio 2: isto veio do enunciado onde x varia entre -\sqrt{4-y^{2}} e +\sqrt{4-y^{2}} e y entre -2 e 2. Em coordenadas cilíndricas isso corresponde a 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi (o disco inteiro).
  • O limite inferior para z é z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r (peguei isso do enunciado) e o limite superior é z=2. Logo
    r\in[0,2],\qquad \theta\in[0,2\pi],\qquad z\in[r,2].
  • O integrando x z em cilíndricas é x z = (r\cos\theta)\,z. Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos o integrando total em r,\theta,z:
    x z\,d z\,d x\,d y \longrightarrow (r\cos\theta)\,z \cdot r\,d z\,d r\,d\theta = r^{2}\cos\theta\; z\, d z\,d r\,d\theta.
  • Montando a integral em cilíndricas:
    \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r}^{2} r^{2}\cos\theta\; z \,d z\,d r\,d\theta.

Passo 4

Cálculo da integral do item 27, passo a passo, e observação de simetria.
  • Integramos primeiro em z:
    \int_{z=r}^{2} r^{2}\cos\theta\; z \,d z = r^{2}\cos\theta \left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{z=r}^{z=2} = \tfrac{1}{2} r^{2}\cos\theta\,(4 - r^{2}).
  • A integral restante é
    \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \tfrac{1}{2} r^{2}\cos\theta\,(4 - r^{2})\,d r\,d\theta.
  • Observe que a parte que depende de \theta é \cos\theta. Como os limites angulares cobrem o círculo inteiro ( 0 a 2\pi), temos
    \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0.
    Portanto a integral dupla inteira vale 0 (produto de algo que não depende de \theta por uma integral angular que é zero).
  • Interpretação física/geométrica rápida (útil na prova): o integrando original x z é ímpar em x (se trocar x\to -x muda de sinal) e a região de integração é simétrica em relação ao eixo y (ou seja, o disco é simétrico em x). Isso já nos permite concluir que a integral deve ser 0 por simetria, sem cálculo adicional.

Passo 5

Resposta do item 27 (conclusão curta antes de passar ao item 28).
  • Portanto a integral do item 27 é 0.

Passo 6

Resolvendo a Questão 28 — identificação da região e mudança para cilíndricas.
  • A projeção no plano xy é a meia-disco de raio 3 com y\ge 0 (peguei isso do enunciado: x\in[-3,3], y\in[0,\sqrt{9-x^{2}}]). Em coordenadas cilíndricas isso corresponde a r\in[0,3] e \theta\in[0,\pi] (meia volta, porque y\ge 0 \theta entre 0 e \pi).
  • O limite em z é z\in[0,9-x^{2}-y^{2}]=[0,9-r^{2}] (peguei isso do enunciado).
  • O integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira r. Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos r\cdot r = r^{2}.
  • Portanto a integral em cilíndricas é
    \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{3}\int_{z=0}^{9-r^{2}} r^{2}\,d z\,d r\,d\theta.

Passo 7

Cálculo da integral do item 28, passo a passo.
  • Integramos primeiro em z:
    \int_{z=0}^{9-r^{2}} r^{2}\,d z = r^{2}\big[ z \big]_{0}^{9-r^{2}} = r^{2}(9 - r^{2}).
  • A integral reduz-se a
    \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3} r^{2}(9 - r^{2})\,d r\,d\theta.
  • A integral em \theta é trivial ( \theta não aparece no integrando), dá um fator \pi:
    \int_{0}^{\pi} d\theta = \pi.
  • Agora calcule a integral em r:
    \int_{0}^{3} r^{2}(9 - r^{2})\,d r = \int_{0}^{3} (9r^{2} - r^{4})\,d r = \Big[ 9\cdot\tfrac{r^{3}}{3} - \tfrac{r^{5}}{5}\Big]_{0}^{3}.
    Calcule os termos:
    9\cdot\tfrac{3^{3}}{3} - \tfrac{3^{5}}{5} = 9\cdot\tfrac{27}{3} - \tfrac{243}{5} = 9\cdot 9 - \tfrac{243}{5} = 81 - \tfrac{243}{5}.
    Escrevendo com denominador 5:
    81 = \tfrac{405}{5},\quad \text{portanto}\quad 81 - \tfrac{243}{5} = \tfrac{405-243}{5} = \tfrac{162}{5}.
  • Multiplicando pelo fator \pi da integração em \theta, a integral vale
    \pi\cdot \tfrac{162}{5} = \tfrac{162}{5}\,\pi.

Passo 8

Conclusão e interpretação do resultado do item 28.
  • Portanto a integral do item 28 é \dfrac{162}{5}\pi. Uma observação física/computacional: o integrando era radial ( \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r), a região era um sólido com topos definidos por z=9-r^{2}, então a conversão para cilíndricas e a presença do r do jacobiano tinham o efeito de transformar a integral numa integral unidimensional em r fácil de calcular.

Passo 9

Tratamento do item 29 — enunciado incompleto, explicação do que se pode fazer e formulação padrão.
  • O enunciado fornecido está incompleto: ele apresenta a situação (montanha em forma de cone circular reto, densidade local g(P), e uma função altura h(P)) mas não especifica explicitamente qual é a quantidade a ser encontrada (por exemplo: “escrever a integral que dá o trabalho para erguer a montanha a partir do nível do mar” seria a formulação típica). Como não foi explicitado, não há um único “resultado numérico” a calcular. Por isso eu não posso “resolver” um valor final sem que se diga exatamente o que pedir (por exemplo, se querem a expressão para o trabalho, ou a massa total, ou um caso com densidade constante). No entanto, posso dar:
    (a) a expressão padrão e geral que se usa para o trabalho de erguer material até certa altura, e
    (b) um exemplo completo e bastante comum: o caso da montanha como cone de raio R e altura H com densidade constante \rho, e calcular explicitamente o trabalho necessário para erguer esse cone a partir do nível do mar.

Passo 10

Expressão geral para o trabalho (fórmula padrão, didática).
  • Para cada elemento de volume dV localizado em P com densidade (massa por volume) g(P) (peguei isso do enunciado), a massa desse elemento é g(P)\,dV. Para erguer essa massa contra a gravidade até uma elevação h(P) (altura que precisa ser vencida), o trabalho diferencial é dW = g_{0}\, \big(g(P)\,dV\big)\, h(P),onde g_{0} é a aceleração gravitacional (constante; use g_{0}\approx 9{,}8\\ \text{m/s}^{2} se for necessário um número). Assim a expressão geral para o trabalho total é a integral de volume \boxed{\,W \;=\; \iiint_{V} g_{0}\,g(P)\,h(P)\,dV\,.}Essa é a forma padrão: soma (integral) dos trabalhos g_{0}\cdot\text{massa}\cdot\text{elevação}çã de cada pedacinho do corpo.

Passo 11

Caso concreto e didático: cone reto com densidade constante \rho. Montagem do modelo e cálculo do trabalho.
  • Modelo geométrico (escolhas para ficar explícito):
    • Tomar o eixo z vertical.
    • Base do cone está no nível do mar em z=0.
    • Apex (pico) do cone está em z=H.
    • O raio da base no z=0 é R.
    • Densidade constante: g(P)=\rho (constante).
    Com estas escolhas, um ponto do cone tem coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com z\in[0,H] e para cada z o raio máximo da seção transversal é
    r_{\max}(z) = R\left(1-\frac{z}{H}\right),
    porque a seção é linear entre (r=R,z=0) e (r=0,z=H).
  • Para cada elemento de volume dV = r\,d r\,d\theta\,d z localizado a altura z, a massa é \rho\,dV e a energia (trabalho) necessária para erguer esse pedaço até a altitude z é g_{0}\,\rho\,z\,dV (a altura a vencer é z porque se partimos do nível do mar e colocamos o material naquela altura z, foi preciso levantar até z).
  • A integral total do trabalho é então
    W \;=\; \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=0}^{H}\int_{r=0}^{R\left(1-\frac{z}{H}\right)} g_{0}\,\rho \, z\; r\,d r\,d\theta\,d z.

Passo 12

Cálculo explícito do caso do cone com densidade constante \rho (integração passo a passo).
  • Integramos em r:
    \int_{r=0}^{R(1-\frac{z}{H})} r\,d r = \tfrac{1}{2}\left[R\left(1-\frac{z}{H}\right)\right]^{2} = \tfrac{R^{2}}{2}\left(1-\frac{z}{H}\right)^{2}.
  • Substituindo e integrando em \theta (que dá 2\pi):
    W = g_{0}\,\rho \cdot 2\pi \cdot \int_{z=0}^{H} z \cdot \tfrac{R^{2}}{2}\left(1-\frac{z}{H}\right)^{2} d z = \pi\,g_{0}\,\rho\,R^{2}\int_{0}^{H} z\left(1-\frac{z}{H}\right)^{2} d z.
  • Fazer a mudança de variável t=\dfrac{z}{H} facilita: z=Ht, d z = H\,d t, t\in[0,1]. Então
    W = \pi\,g_{0}\,\rho\,R^{2}\cdot H^{2}\int_{0}^{1} t(1-t)^{2} d t.
  • Calcular a integral:
    \int_{0}^{1} t(1-t)^{2} d t = \int_{0}^{1} \big(t - 2t^{2} + t^{3}\big) d t = \Big[\tfrac{t^{2}}{2} - \tfrac{2t^{3}}{3} + \tfrac{t^{4}}{4}\Big]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{12}.
  • Portanto
    W = \pi\,g_{0}\,\rho\,R^{2}\,H^{2}\cdot \tfrac{1}{12} = \boxed{\,\dfrac{\pi}{12}\,g_{0}\,\rho\,R^{2}H^{2}\, }.
  • Observação prática e de verificação rápida: a massa total do cone é M=\tfrac{1}{3}\pi R^{2}H\,\rho e o centro de massa do cone fica a uma altura z_{\text{cm}}=\tfrac{H}{4} acima da base; então o trabalho também pode ser obtido por W=M g_{0} z_{\text{cm}}=\big(\tfrac{1}{3}\pi R^{2}H\,\rho\big) g_{0}\big(\tfrac{H}{4}\big)=\tfrac{\pi}{12}g_{0}\rho R^{2}H^{2}, que confirma o resultado.

Resposta

  1. 0
  2. \dfrac{162}{5}\pi
  3. Formulação geral: \displaystyle W=\iiint_{V} g_{0}\,g(P)\,h(P)\,dV.\newline
    Para o caso do cone reto de raio R, altura H e densidade constante \rho: \displaystyle W=\dfrac{\pi}{12}\,g_{0}\,\rho\,R^{2}H^{2}.

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