1. \rho \leqslant 2, \rho \leqslant \operatorname{cossec} \varphi
  2. Um sólido está acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e abaixo da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=z. Escreva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas.
  3. (a) Encontre desigualdades que descrevam uma bola oca com diâmetro de 30 cm e espessura de 0,5 \mathrm{~cm}. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas que escolheu.
    (b) Suponha que a bola seja cortada pela metade. Escreva desigualdades que descrevam uma das metades.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e quais informações o enunciado fornece.
  • Item 14: o enunciado apresenta as desigualdades em coordenadas esféricas \rho \leqslant 2 e \rho \leqslant \operatorname{cosec}\varphi. Precisa-se interpretar o conjunto de pontos descrito por essas duas desigualdades (ou descrevê‑lo em coordenadas cartesianas / de modo mais explícito em esféricas).
  • Item 15: “Um sólido está acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e abaixo da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=z. Escreva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas.” — pede converter a descrição dada (cone e esfera) para desigualdades em \rho,\varphi,\theta.
  • Item 16(a): “Encontre desigualdades que descrevam uma bola oca com diâmetro de 30\\ \text{cm} e espessura de 0,5\\ \text{cm}. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas que escolheu.” — pede escolher um sistema de coordenadas (posicionar origem) e escrever as desigualdades esféricas que definem a casca esférica.
  • Item 16(b): “Suponha que a bola seja cortada pela metade. Escreva desigualdades que descrevam uma das metades.” — a partir da casca do item (a), descrever uma metade (por exemplo, a metade superior).

Passo 2

Lembrete didático: o que são coordenadas esféricas e fórmulas úteis que vou usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Em coordenadas esféricas usa‑se três variáveis \rho,\varphi,\theta:
    • \rho é a distância do ponto à origem (sempre \rho\ge 0).
    • \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ou seja, \varphi=0 aponta para o eixo +z; \varphi\in[0,\pi]).
    • \theta é o ângulo no plano xy (ângulo azimutal), \theta\in[0,2\pi).
  • As relações entre coordenadas esféricas e cartesianas são:
    x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
    Uma quantidade muito útil é a projeção radial no plano xy:
    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi.
  • Também note que \operatorname{cosec}\varphi=\csc\varphi=\dfrac{1}{\sin\varphi}. Portanto uma desigualdade do tipo \rho\le \csc\varphi pode ser manipulada multiplicando por \sin\varphi (quando faz sentido), ficando \rho\sin\varphi \le 1, ou seja r\le 1.
Com essas fórmulas em mente, passo a passo traduzimos as desigualdades dadas.

Passo 3

Interpretação e conversão da região definida por \rho \le 2 e \rho \le \csc\varphi.
  1. Começo por entender cada desigualdade:
    • \rho\le 2 significa “dentro da esfera de raio 2 centrada na origem”, isto é o conjunto \{(x,y,z): x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4\}.
    • \rho\le \csc\varphi significa, usando \rho\sin\varphi=r, que \rho\le \csc\varphi \quad\Longleftrightarrow\quad \rho\sin\varphi \le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le 1.Ou seja, \rho\le \csc\varphi descreve o cilindro de raio 1 em torno do eixo z (sem limite em z).
  2. A região pedida é a interseção dos dois conjuntos: pontos que estão ao mesmo tempo dentro da esfera de raio 2 e dentro do cilindro de raio 1. Em coordenadas cartesianas:
    \{(x,y,z): x^{2}+y^{2}\le 1,\; x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4\}.
    Em palavras: “o cilindro de raio 1, cortado (ou limitado) pela esfera de raio 2”.
  3. Se preferir uma descrição em coordenadas esféricas de forma explícita por intervalos de \varphi e \rho, escrevemos a região como
    0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le \rho\le \min\bigl(2,\csc\varphi\bigr),\qquad 0<\varphi<\pi.
    Para ficar totalmente explícito em forma não ambígua, podemos separar em dois casos (usando que \csc\varphi\le 2 equivale a \sin\varphi\ge \tfrac12, ou seja \varphi\in[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}]):
    • Se \varphi\in\bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\bigr] então \csc\varphi\le 2 e a cota é \rho\le\csc\varphi.
    • Se \varphi\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{6}\bigr)\cup\bigl(\tfrac{5\pi}{6},\pi\bigr) então \csc\varphi>2 e a cota é \rho\le 2.
Resumo prático (forma compacta):
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le \rho\le \min\bigl(2,\csc\varphi\bigr),\qquad 0<\varphi<\pi.

Passo 4

Converter “acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}” e “abaixo da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=z” para desigualdades em coordenadas esféricas.
  1. Reescrevendo o cone:
    • O cone dado tem a equação z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
    • Elevando ao quadrado (lembrando z\ge 0 nesta superfície), temos z^{2}=x^{2}+y^{2}.
    • Em esféricas, z=\rho\cos\varphi e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi. Assim (\rho\cos\varphi)^{2}=(\rho\sin\varphi)^{2}\quad\Longrightarrow\quad \cos^{2}\varphi=\sin^{2}\varphi.Isso leva a \tan^{2}\varphi=1 e, tomando a solução no intervalo [0,\pi], obtemos \varphi=\frac{\pi}{4}.O cone é a superfície \varphi=\tfrac{\pi}{4}. “Acima do cone” (região com maiores z para dado r) corresponde a ângulos menores: \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{4}].
  2. Reescrevendo a esfera:
    • A esfera tem equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=z.
    • Em esféricas, x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2} e z=\rho\cos\varphi. Assim \rho^{2}=\rho\cos\varphi.Para \rho\ge0, isto equivale a \rho=\cos\varphi.A interior da esfera (pontos com \rho menores) satisfaz \rho\le\cos\varphi. Observe que \cos\varphi só é positivo para \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]; a região “abaixo da esfera” aqui refere‑se ao interior até a superfície \rho=\cos\varphi.
  3. Interseção (o sólido pedido):
    • \theta varia livremente: 0\le\theta\le 2\pi.
    • \varphi está entre 0 (eixo +z) e o ângulo do cone: 0\le\varphi\le \tfrac{\pi}{4} (porque queremos “acima do cone”).
    • Para cada \varphi desse intervalo, \rho vai de 0 até a esfera: 0\le \rho\le \cos\varphi.
Portanto a descrição em coordenadas esféricas do sólido é
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le \varphi\le \frac{\pi}{4},\qquad 0\le \rho\le \cos\varphi.

Passo 5

Bola oca com diâmetro 30\\ \text{cm} e espessura 0{,}5\\ \text{cm}. Escolha do sistema de coordenadas e desigualdades.
  1. Posicionamento do sistema de coordenadas:
    • Coloco a origem no centro da esfera (essa é a escolha óbvia e facilita as desigualdades esféricas).
    • Eixos x,y,z quaisquer ortogonais; a casca esférica é radialmente simétrica, então \theta vai de 0 a 2\pi e \varphi de 0 a \pi.
  2. Cálculo dos raios:
    • Diâmetro =30\\ \text{cm} implica raio externo R_{\text{externo}}=\frac{30}{2}=15\\ \text{cm}.
    • Espessura =0{,}5\\ \text{cm} implica raio interno R_{\text{interno}}=15-0{,}5=14{,}5\\ \text{cm}.
  3. Desigualdades em coordenadas esféricas:
    • Radialmente: 14{,}5\le \rho\le 15.
    • Angularmente: 0\le\varphi\le\pi e 0\le\theta\le 2\pi.
Logo a casca esférica (bola oca) é descrita por
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le \varphi\le \pi,\qquad 14{,}5\le \rho\le 15.

Passo 6

A bola é cortada pela metade; descrever uma das metades.
  1. Entendimento do corte:
    • “Cortada pela metade” normalmente significa por um plano que passa pelo centro da esfera (por exemplo, o plano z=0), produzindo duas metades (hemisferas) simétricas.
    • Escolho a metade superior, definida por z\ge 0. Em coordenadas esféricas isso é \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (porque \varphi=0 no eixo +z e \varphi=\tfrac{\pi}{2} corresponde ao plano z=0).
  2. Mantendo os raios da casca (item 16(a)):
    • 14{,}5\le \rho\le 15,
    • 0\le\theta\le 2\pi,
    • \varphi restrito à metade escolhida: 0\le\varphi\le \tfrac{\pi}{2}.
Assim uma das metades (por exemplo, a metade superior) é descrita por
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le \varphi\le \frac{\pi}{2},\qquad 14{,}5\le \rho\le 15.
(Para a metade inferior trocar a condição angular para \tfrac{\pi}{2}\le\varphi\le\pi.)

Resposta

  1. Região = interseção do cilindro de raio 1 com a esfera de raio 2. Em coordenadas cartesianas:
    x^{2}+y^{2}\le 1,\; x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4.
    Em esféricas (forma compacta):
    0\le \theta\le 2\pi,\;0<\varphi<\pi,\;0\le \rho\le \min\bigl(2,\csc\varphi\bigr).
    (Equivalente, de forma peça‑por‑peça: se \varphi\in[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}] então 0\le\rho\le\csc\varphi; caso contrário 0\le\rho\le 2.)
  2. \;0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le \varphi\le \dfrac{\pi}{4},\qquad 0\le \rho\le \cos\varphi.
16(a). Com a origem no centro da esfera:
\;0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le \varphi\le \pi,\qquad 14{,}5\le \rho\le 15.
16(b). Metade superior (z \ge0):
\;0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le \varphi\le \dfrac{\pi}{2},\qquad 14{,}5\le \rho\le 15.

Exercícios relacionados