-
- Um sólido está acima do cone
e abaixo da esfera
. Escreva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas.
- (a) Encontre desigualdades que descrevam uma bola oca com diâmetro de 30 cm e espessura de
. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas que escolheu.
(b) Suponha que a bola seja cortada pela metade. Escreva desigualdades que descrevam uma das metades.
(b) Suponha que a bola seja cortada pela metade. Escreva desigualdades que descrevam uma das metades.
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e quais informações o enunciado fornece.
-
Item 14: o enunciado apresenta as desigualdades em coordenadas esféricas
e . Precisa-se interpretar o conjunto de pontos descrito por essas duas desigualdades (ou descrevê‑lo em coordenadas cartesianas / de modo mais explícito em esféricas). -
Item 15: “Um sólido está acima do cone
e abaixo da esfera . Escreva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas.” — pede converter a descrição dada (cone e esfera) para desigualdades em . -
Item 16(a): “Encontre desigualdades que descrevam uma bola oca com diâmetro de
e espessura de . Explique como você posicionou o sistema de coordenadas que escolheu.” — pede escolher um sistema de coordenadas (posicionar origem) e escrever as desigualdades esféricas que definem a casca esférica. -
Item 16(b): “Suponha que a bola seja cortada pela metade. Escreva desigualdades que descrevam uma das metades.” — a partir da casca do item (a), descrever uma metade (por exemplo, a metade superior).
Passo 2
Lembrete didático: o que são coordenadas esféricas e fórmulas úteis que vou usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
-
Em coordenadas esféricas usa‑se três variáveis
: -
é a distância do ponto à origem (sempre ). -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo (ou seja, aponta para o eixo ; ). -
é o ângulo no plano (ângulo azimutal), .
-
-
As relações entre coordenadas esféricas e cartesianas são:Uma quantidade muito útil é a projeção radial no plano
: -
Também note que
. Portanto uma desigualdade do tipo pode ser manipulada multiplicando por (quando faz sentido), ficando , ou seja .
Com essas fórmulas em mente, passo a passo traduzimos as desigualdades dadas.
Passo 3
Interpretação e conversão da região definida por
e
.
-
Começo por entender cada desigualdade:
-
significa “dentro da esfera de raio centrada na origem”, isto é o conjunto . -
significa, usando , que Ou seja, descreve o cilindro de raio em torno do eixo (sem limite em ).
-
-
A região pedida é a interseção dos dois conjuntos: pontos que estão ao mesmo tempo dentro da esfera de raio
e dentro do cilindro de raio . Em coordenadas cartesianas: Em palavras: “o cilindro de raio, cortado (ou limitado) pela esfera de raio ”. -
Se preferir uma descrição em coordenadas esféricas de forma explícita por intervalos de
e , escrevemos a região como Para ficar totalmente explícito em forma não ambígua, podemos separar em dois casos (usando queequivale a , ou seja ): - Se
então e a cota é . - Se
então e a cota é .
- Se
Resumo prático (forma compacta):
Passo 4
Converter “acima do cone
” e “abaixo da esfera
” para desigualdades em coordenadas esféricas.
-
Reescrevendo o cone:
- O cone dado tem a equação
. - Elevando ao quadrado (lembrando
nesta superfície), temos . - Em esféricas,
e . Assim Isso leva a e, tomando a solução no intervalo , obtemos O cone é a superfície . “Acima do cone” (região com maiores para dado ) corresponde a ângulos menores: .
- O cone dado tem a equação
-
Reescrevendo a esfera:
- A esfera tem equação
. - Em esféricas,
e . Assim Para , isto equivale a A interior da esfera (pontos com menores) satisfaz . Observe que só é positivo para ; a região “abaixo da esfera” aqui refere‑se ao interior até a superfície .
- A esfera tem equação
-
Interseção (o sólido pedido):
-
varia livremente: . -
está entre (eixo ) e o ângulo do cone: (porque queremos “acima do cone”). - Para cada
desse intervalo, vai de até a esfera: .
-
Portanto a descrição em coordenadas esféricas do sólido é
Passo 5
Bola oca com diâmetro
e espessura
. Escolha do sistema de coordenadas e desigualdades.
-
Posicionamento do sistema de coordenadas:
- Coloco a origem no centro da esfera (essa é a escolha óbvia e facilita as desigualdades esféricas).
- Eixos
quaisquer ortogonais; a casca esférica é radialmente simétrica, então vai de a e de a .
-
Cálculo dos raios:
- Diâmetro
implica raio externo - Espessura
implica raio interno
- Diâmetro
-
Desigualdades em coordenadas esféricas:
- Radialmente:
. - Angularmente:
e .
- Radialmente:
Logo a casca esférica (bola oca) é descrita por
Passo 6
A bola é cortada pela metade; descrever uma das metades.
-
Entendimento do corte:
- “Cortada pela metade” normalmente significa por um plano que passa pelo centro da esfera (por exemplo, o plano
), produzindo duas metades (hemisferas) simétricas. - Escolho a metade superior, definida por
. Em coordenadas esféricas isso é (porque no eixo e corresponde ao plano ).
- “Cortada pela metade” normalmente significa por um plano que passa pelo centro da esfera (por exemplo, o plano
-
Mantendo os raios da casca (item 16(a)):
-
, -
, -
restrito à metade escolhida: .
-
Assim uma das metades (por exemplo, a metade superior) é descrita por
(Para a metade inferior trocar a condição angular para
.)
Resposta
-
Região = interseção do cilindro de raio
com a esfera de raio . Em coordenadas cartesianas:
.
Em esféricas (forma compacta):
.
(Equivalente, de forma peça‑por‑peça: seentão ; caso contrário .) -
16(a). Com a origem no centro da esfera:
16(b). Metade superior (z
0):