17.20 Um domo geodésico construído com estrutura de alumínio é um hemisfério quase perfeito; seu diâmetro mede 55,0 \mathrm{~m} em um dia de inverno a uma temperatura de -15{ }^{\circ} \mathrm{C}. Qual é o aumento do espaço interior do domo no verão, quando a temperatura é 35^{\circ} \mathrm{C} ? 17.21 Uma barra metálica mede 40,125 \mathrm{~cm} de comprimento a 20^{\circ} \mathrm{C} e 40,148 \mathrm{~cm} a 45^{\circ} \mathrm{C}. Calcule seu coeficiente de dilatação linear médio nesse intervalo de temperatura.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada enunciado dá e o que pede.
Para o exercício 17.20:
  • Dados (pegados do enunciado): o domo é praticamente um hemisfério; o diâmetro mede \,55{,}0\\ \mathrm{m} a -15{ }^\circ\mathrm{C}. No verão a temperatura fica em 35{ }^\circ\mathrm{C}.
  • O que é pedido: o aumento do espaço interior do domo (ou seja, o aumento do volume interno do hemisfério) quando a temperatura sobe de -15{ }^\circ\mathrm{C} para 35{ }^\circ\mathrm{C}.
Para o exercício 17.21:
  • Dados (pegados do enunciado): uma barra metálica tem comprimento \,40{,}125\\ \mathrm{cm} a 20{ }^\circ\mathrm{C} e comprimento \,40{,}148\\ \mathrm{cm} a 45{ }^\circ\mathrm{C}.
  • O que é pedido: o coeficiente de dilatação linear médio da barra nesse intervalo de temperatura.

Passo 2

Conceitos e fórmulas necessárias (aulas rápidas e intuitivas).
  1. Dilatação linear
  • Quando um objeto tem temperatura alterada, cada comprimento linear L muda aproximadamente por
\Delta L = \alpha\, L\, \Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação do comprimento (mesmas unidades de L),
  • L é o comprimento inicial (na temperatura inicial que estamos usando como referência),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C} ou K; a diferença é a mesma),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (em \mathrm{^\circ C^{-1}} ou \mathrm{K^{-1}}).
  1. Dilatação volumétrica para corpos isotrópicos
  • Se todas as dimensões lineares aumentam na mesma razão (material isotrópico uniforme), o volume V escala aproximadamente como o cubo do fator linear. Podemos escrever, com \beta o coeficiente volumétrico,
\Delta V \approx \beta\, V\, \Delta T,
e para sólidos isotrópicos homogêneos vale aproximadamente \beta \approx 3\alpha.
  • Alternativamente, se o comprimento linear é multiplicado por (1+\alpha\Delta T), o novo volume é multiplicado por (1+\alpha\Delta T)^3. Para pequenos \alpha\Delta T a expansão volumétrica é bem aproximada por 3\alpha\Delta T.
Explicação intuitiva curta: pensar que cada dimensão (x, y, z) cresce por \alpha\Delta T; o volume (produto das 3 dimensões) cresce por (1+\alpha\Delta T)^3-1\approx 3\alpha\Delta T quando \alpha\Delta T é pequeno.

Passo 3

Resolver 17.20 — preparar os números.
  • Variação de temperatura:
\Delta T = 35{ }^\circ\mathrm{C} - (-15{ }^\circ\mathrm{C}) = 50{ }^\circ\mathrm{C}.
  • Diâmetro inicial (pegado do enunciado): \,D_1 = 55{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Raio inicial:
r_1 = \frac{D_1}{2} = \frac{55{,}0}{2} = 27{,}5\\ \mathrm{m}.
Precisamos do coeficiente linear de dilatação do alumínio. Vou usar o valor típico:
\alpha_{\text{Al}} = 2{,}4\times 10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}.
(é um valor padrão aproximado frequentemente usado em problemas teóricos; se a prova der outro valor use esse.)

Passo 4

Calcular o novo raio e o novo volume do hemisfério (exatidão pelo procedimento de escala).
  • Fator de escala linear:
1+\alpha\Delta T = 1 + (2{,}4\times10^{-5})(50) = 1 + 1{,}2\times10^{-3} = 1{,}0012.
  • Novo raio:
r_2 = r_1(1+\alpha\Delta T) = 27{,}5\cdot 1{,}0012 = 27{,}5\cdot(1 + 0{,}0012).
Calculemos:
r_2 = 27{,}5 + 27{,}5\cdot 0{,}0012 = 27{,}5 + 0{,}033 = 27{,}533\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular volume inicial e volume final do hemisfério.
  • Fórmula do volume de um hemisfério em função do raio:
V = \frac{2}{3}\pi r^3.
  • Volume inicial:
V_1 = \frac{2}{3}\pi r_1^3 = \frac{2}{3}\pi (27{,}5)^3.
Vamos calcular (27{,}5)^3 passo a passo:
(27{,}5)^2 = 756{,}25,\qquad (27{,}5)^3 = 756{,}25\times 27{,}5 = 20\,796{,}875.
Logo
V_1 = \frac{2}{3}\pi \times 20\,796{,}875 \approx 13\,864{,}58333\pi \approx 43\,556{,}98\\ \mathrm{m^3}.
(Usei \pi\approx 3{,}14159265; arredondei o resultado final do volume inicial para duas casas decimais durante o cálculo.)
  • Volume final:
V_2 = \frac{2}{3}\pi r_2^3 = \frac{2}{3}\pi (27{,}533)^3.
Mas é mais simples usar o fator de escala em volume: como r_2 = r_1(1+\alpha\Delta T),
V_2 = V_1(1+\alpha\Delta T)^3.

Passo 6

Calcular o aumento de volume \Delta V = V_2 - V_1 usando expansão exata (pela fórmula do cubo) e também mostrar a aproximação simples.
  • Cálculo exato (pelo fator cúbico):
(1+\alpha\Delta T)^3 = (1{,}0012)^3.
Expandindo (ou calculando numericamente):
(1{,}0012)^3 \approx 1 + 3(0{,}0012) + 3(0{,}0012)^2 + (0{,}0012)^3 \approx 1 + 0{,}0036 + 4{,}32\times10^{-6} + 1{,}728\times10^{-9} \approx 1{,}00360432.
Portanto
\Delta V = V_1\big[(1+\alpha\Delta T)^3 - 1\big] \approx V_1\times 0{,}00360432.
Substituindo V_1\approx 43\,556{,}98\\ \mathrm{m^3}:
\Delta V \approx 43\,556{,}98\times 0{,}00360432 \approx 156{,}99\\ \mathrm{m^3}.
  • Aproximação via \beta\approx 3\alpha:
\Delta V \approx 3\alpha\Delta T \,V_1 = (3\times 2{,}4\times10^{-5}\times 50)\,V_1 = 0{,}0036\,V_1,
o que daria
\Delta V \approx 0{,}0036\times 43\,556{,}98 \approx 156{,}80\\ \mathrm{m^3}.
As duas respostas são praticamente iguais (diferença ínfima), como esperado porque \alpha\Delta T é pequeno.
Conclusão para 17.20: o aumento do espaço interior é aproximadamente \,1{,}57\times 10^{2}\\ \mathrm{m^3} (ou \,157\\ \mathrm{m^3} com três algarismos significativos).

Passo 7

Resolver 17.21 — preparar dados numéricos e fórmula.
  • Temperaturas: T_1 = 20{ }^\circ\mathrm{C}, T_2 = 45{ }^\circ\mathrm{C}.
  • Variação de temperatura:
\Delta T = 45{ }^\circ\mathrm{C} - 20{ }^\circ\mathrm{C} = 25{ }^\circ\mathrm{C}.
  • Comprimentos (pegados do enunciado):
L_1 = 40{,}125\\ \mathrm{cm}\quad\text{(a }20{ }^\circ\mathrm{C}\text{)},\qquad L_2 = 40{,}148\\ \mathrm{cm}\quad\text{(a }45{ }^\circ\mathrm{C}\text{)}.
  • Variação de comprimento:
\Delta L = L_2 - L_1 = 40{,}148 - 40{,}125 = 0{,}023\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Fórmula para o coeficiente linear médio (deduzida da dilatação linear):
\alpha_{\text{médio}} = \frac{\Delta L}{L_1\,\Delta T}.é
Aqui \Delta L é a variação observada, L_1 o comprimento na temperatura inicial, \Delta T a diferença de temperatura.

Passo 9

Cálculo numérico do coeficiente:
Substituindo os valores em TeX:
\alpha_{\text{médio}} = \frac{0{,}023\\ \mathrm{cm}}{40{,}125\\ \mathrm{cm}\times 25\\ } = \frac{0{,}023}{1\,003{,}125} .é
Agora a divisão:
\alpha_{\text{médio}} \approx 2{,}29\times 10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}.é
Para ter mais dígitos, a conta dá aproximadamente \alpha_{\text{médio}} \approx 2{,}2926\times10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}é. Com três algarismos significativos fica \,2{,}29\times10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}.

Passo 10

Interpretação curta e incentivo.
  • Para 17.20: o aumento de volume é grande em valor absoluto (cerca de cem metros cúbicos), mas em termos relativos é pequeno (apenas cerca de 0{,}36\% do volume).
  • Para 17.21: o coeficiente obtido é da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}, valor típico para metais (próximo ao do alumínio ou aço dependendo do metal). Bom trabalho — você já tem um padrão de como aplicar as fórmulas de dilatação em problemas da prova: primeiro identifique \Delta T, depois use \Delta L=\alpha L\Delta T ou a versão volumétrica.

Resposta

\Delta V \approx 1{,}57\times 10^{2}\\ \mathrm{m^{3}}
\alpha_{\text{médio}} \approx 2{,}29\times 10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}é

Exercícios relacionados