17.20 Um domo geodésico construído com estrutura de alumínio é um hemisfério quase perfeito; seu diâmetro mede
em um dia de inverno a uma temperatura de
. Qual é o aumento do espaço interior do domo no verão, quando a temperatura é
? 17.21 Uma barra metálica mede
de comprimento a
e
a
. Calcule seu coeficiente de dilatação linear médio nesse intervalo de temperatura.
Passo 1
Vou listar claramente o que cada enunciado dá e o que pede.
Para o exercício 17.20:
- Dados (pegados do enunciado): o domo é praticamente um hemisfério; o diâmetro mede
a . No verão a temperatura fica em . - O que é pedido: o aumento do espaço interior do domo (ou seja, o aumento do volume interno do hemisfério) quando a temperatura sobe de
para .
Para o exercício 17.21:
- Dados (pegados do enunciado): uma barra metálica tem comprimento
a e comprimento a . - O que é pedido: o coeficiente de dilatação linear médio da barra nesse intervalo de temperatura.
Passo 2
Conceitos e fórmulas necessárias (aulas rápidas e intuitivas).
- Dilatação linear
- Quando um objeto tem temperatura alterada, cada comprimento linear
muda aproximadamente por
onde:
-
é a variação do comprimento (mesmas unidades de ), -
é o comprimento inicial (na temperatura inicial que estamos usando como referência), -
é a variação de temperatura (em ou K; a diferença é a mesma), -
é o coeficiente de dilatação linear (em ou ).
- Dilatação volumétrica para corpos isotrópicos
- Se todas as dimensões lineares aumentam na mesma razão (material isotrópico uniforme), o volume
escala aproximadamente como o cubo do fator linear. Podemos escrever, com o coeficiente volumétrico,
e para sólidos isotrópicos homogêneos vale aproximadamente
.
- Alternativamente, se o comprimento linear é multiplicado por
, o novo volume é multiplicado por . Para pequenos a expansão volumétrica é bem aproximada por .
Explicação intuitiva curta: pensar que cada dimensão (x, y, z) cresce por
; o volume (produto das 3 dimensões) cresce por
quando
é pequeno.
Passo 3
Resolver 17.20 — preparar os números.
- Variação de temperatura:
- Diâmetro inicial (pegado do enunciado):
. - Raio inicial:
Precisamos do coeficiente linear de dilatação do alumínio. Vou usar o valor típico:
(é um valor padrão aproximado frequentemente usado em problemas teóricos; se a prova der outro valor use esse.)
Passo 4
Calcular o novo raio e o novo volume do hemisfério (exatidão pelo procedimento de escala).
- Fator de escala linear:
- Novo raio:
Calculemos:
Passo 5
Calcular volume inicial e volume final do hemisfério.
- Fórmula do volume de um hemisfério em função do raio:
- Volume inicial:
Vamos calcular
passo a passo:
Logo
(Usei
; arredondei o resultado final do volume inicial para duas casas decimais durante o cálculo.)
- Volume final:
Mas é mais simples usar o fator de escala em volume: como
,
Passo 6
Calcular o aumento de volume
usando expansão exata (pela fórmula do cubo) e também mostrar a aproximação simples.
- Cálculo exato (pelo fator cúbico):
Expandindo (ou calculando numericamente):
Portanto
Substituindo
:
- Aproximação via
:
o que daria
As duas respostas são praticamente iguais (diferença ínfima), como esperado porque
é pequeno.
Conclusão para 17.20: o aumento do espaço interior é aproximadamente
(ou
com três algarismos significativos).
Passo 7
Resolver 17.21 — preparar dados numéricos e fórmula.
- Temperaturas:
, . - Variação de temperatura:
- Comprimentos (pegados do enunciado):
- Variação de comprimento:
Passo 8
Fórmula para o coeficiente linear médio (deduzida da dilatação linear):
Aqui
é a variação observada,
o comprimento na temperatura inicial,
a diferença de temperatura.
Passo 9
Cálculo numérico do coeficiente:
Substituindo os valores em TeX:
Agora a divisão:
Para ter mais dígitos, a conta dá aproximadamente
. Com três algarismos significativos fica
.
Passo 10
Interpretação curta e incentivo.
- Para 17.20: o aumento de volume é grande em valor absoluto (cerca de cem metros cúbicos), mas em termos relativos é pequeno (apenas cerca de
do volume). - Para 17.21: o coeficiente obtido é da ordem de
, valor típico para metais (próximo ao do alumínio ou aço dependendo do metal). Bom trabalho — você já tem um padrão de como aplicar as fórmulas de dilatação em problemas da prova: primeiro identifique , depois use ou a versão volumétrica.