18 - Um esquiador de 40 kg desce uma rampa sem atrito que faz um angulo de
com a horizontal. Suponha que o esquiador se desloca no sentido negativo de um eixo x orientado ao longo da rampa. O vento exerce uma força sabre o esquiador de componente
. Quanto vale
se o módulo da velocidade do esquiador (a) é constante, (b) aumenta a uma taxa de
(c) aumenta a uma taxa de
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
- Massa do esquiador:
. - Inclinação da rampa em relação à horizontal:
. - Não há atrito.
- O eixo
está orientado ao longo da rampa; o esquiador desloca-se no sentido negativo de (ou seja, desce a rampa no sentido negativo). - O vento exerce uma força sobre o esquiador cuja componente ao longo da rampa é
. É isso que precisamos encontrar.
Perguntas (três casos):
(a) Qual é se o módulo da velocidade do esquiador é constante?
(b) Qual é se o módulo da velocidade aumenta à razão
?
(c) Qual é se o módulo da velocidade aumenta à razão
?
(a) Qual é
(b) Qual é
(c) Qual é
Passo 2
Escolha de convenções e forças atuantes — montar a equação de movimento.
- Vou tomar o eixo
positivo subindo a rampa (então descer a rampa corresponde a aceleração/velocidade negativa, conforme o enunciado). - Forças ao longo da rampa:
- Componente do peso paralela à rampa: essa componente aponta para baixo (no sentido de descer) e tem módulo
. Como escolhemos para cima, essa componente é . - Componente do vento ao longo da rampa:
(pode ser positiva ou negativa, depende do sentido real do vento).
- Componente do peso paralela à rampa: essa componente aponta para baixo (no sentido de descer) e tem módulo
- Como não há atrito, só temos essas duas componentes ao longo do eixo
.
Aplicando a Segunda Lei de Newton ao longo de
:
Substituindo as forças:
Isolando
:
Explicação das variáveis:
-
é a componente do vento na direção do eixo (positiva para cima). -
é a massa do esquiador. -
é a aceleração ao longo da rampa (se a velocidade escalar aumenta no sentido negativo, então será negativo). -
é a aceleração da gravidade ( ). -
é o ângulo da rampa ( ).
Esta fórmula é a peça-chave: para cada caso basta substituir
.
Passo 3
Calcular o termo
(com passos para poder fazer à mão na prova).
Calcule
. Valor conhecido/consultável:
Multiplicando:
Agora multiplicar por
:
Arredondando de forma prática para uso em prova:
.
Passo 4
Caso (a): velocidade com módulo constante.
- Se a magnitude da velocidade é constante então a aceleração tangencial é nula; no nosso eixo
isso significa . - Usando a fórmula geral:
Substituindo o valor numérico que calculamos:
Passo 5
Caso (b): o módulo da velocidade aumenta à taxa
.
- O esquiador está descendo (movimento no sentido negativo de
) e o módulo da velocidade aumenta; portanto a aceleração tem direção do movimento, isto é, para baixo ao longo da rampa, e numericamente . - Usar a fórmula:
Calcule:
Passo 6
Caso (c): o módulo da velocidade aumenta à taxa
.
- Pelo mesmo raciocínio, a aceleração ao longo de
é . - Usando a fórmula:
Calcule:
Interpretação rápida do sinal:
significa que a componente do vento está apontando para baixo ao longo da rampa (ajudando a gravidade).