18 - Um esquiador de 40 kg desce uma rampa sem atrito que faz um angulo de 10^{\circ} com a horizontal. Suponha que o esquiador se desloca no sentido negativo de um eixo x orientado ao longo da rampa. O vento exerce uma força sabre o esquiador de componente F x. Quanto vale F x se o módulo da velocidade do esquiador (a) é constante, (b) aumenta a uma taxa de 1.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \mathrm{e} (c) aumenta a uma taxa de 2.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Massa do esquiador: m=40\\ \mathrm{kg}.
  • Inclinação da rampa em relação à horizontal: \theta=10^\circ.
  • Não há atrito.
  • O eixo x está orientado ao longo da rampa; o esquiador desloca-se no sentido negativo de x (ou seja, desce a rampa no sentido negativo).
  • O vento exerce uma força sobre o esquiador cuja componente ao longo da rampa é F_x. É isso que precisamos encontrar.
Perguntas (três casos):
(a) Qual é F_x se o módulo da velocidade do esquiador é constante?
(b) Qual é F_x se o módulo da velocidade aumenta à razão 1{,}0\\ \mathrm{m/s^2}?
(c) Qual é F_x se o módulo da velocidade aumenta à razão 2{,}0\\ \mathrm{m/s^2}?

Passo 2

Escolha de convenções e forças atuantes — montar a equação de movimento.
  • Vou tomar o eixo x positivo subindo a rampa (então descer a rampa corresponde a aceleração/velocidade negativa, conforme o enunciado).
  • Forças ao longo da rampa:
    • Componente do peso paralela à rampa: essa componente aponta para baixo (no sentido de descer) e tem módulo mg\sin\theta. Como escolhemos +x para cima, essa componente é -mg\sin\theta.
    • Componente do vento ao longo da rampa: F_x (pode ser positiva ou negativa, depende do sentido real do vento).
  • Como não há atrito, só temos essas duas componentes ao longo do eixo x.
Aplicando a Segunda Lei de Newton ao longo de x:
\sum F_x = m a_x.
Substituindo as forças:
F_x + (-mg\sin\theta) = m a_x.
Isolando F_x:
F_x = m a_x + mg\sin\theta.
Explicação das variáveis:
  • F_x é a componente do vento na direção do eixo x (positiva para cima).
  • m é a massa do esquiador.
  • a_x é a aceleração ao longo da rampa (se a velocidade escalar aumenta no sentido negativo, então a_x será negativo).
  • g é a aceleração da gravidade ( g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}).
  • \theta é o ângulo da rampa ( 10^\circ).
Esta fórmula é a peça-chave: para cada caso basta substituir a_x.

Passo 3

Calcular o termo mg\sin\theta (com passos para poder fazer à mão na prova).
mg\sin\theta = 40\cdot 9{,}8\cdot \sin(10^\circ).
Calcule \sin(10^\circ). Valor conhecido/consultável:
\sin(10^\circ)\approx 0{,}1736481777.
Multiplicando:
9{,}8\cdot\sin(10^\circ)\approx 9{,}8\cdot 0{,}1736481777 \approx 1{,}701752141.
Agora multiplicar por 40:
mg\sin\theta \approx 40\cdot 1{,}701752141 \approx 68{,}0700856\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma prática para uso em prova: mg\sin\theta \approx 68{,}1\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Caso (a): velocidade com módulo constante.
  • Se a magnitude da velocidade é constante então a aceleração tangencial é nula; no nosso eixo x isso significa a_x=0.
  • Usando a fórmula geral:
F_x = m a_x + mg\sin\theta = m\cdot 0 + mg\sin\theta = mg\sin\theta.
Substituindo o valor numérico que calculamos:
F_x \approx 68{,}0700856\\ \mathrm{N}\approx 68{,}1\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Caso (b): o módulo da velocidade aumenta à taxa 1{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O esquiador está descendo (movimento no sentido negativo de x) e o módulo da velocidade aumenta; portanto a aceleração tem direção do movimento, isto é, para baixo ao longo da rampa, e numericamente a_x=-1{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Usar a fórmula:
F_x = m a_x + mg\sin\theta = 40\cdot(-1{,}0)+68{,}0700856.
Calcule:
F_x \approx -40 + 68{,}0700856 = 28{,}0700856\\ \mathrm{N}\approx 28{,}1\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Caso (c): o módulo da velocidade aumenta à taxa 2{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Pelo mesmo raciocínio, a aceleração ao longo de x é a_x=-2{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Usando a fórmula:
F_x = 40\cdot(-2{,}0)+68{,}0700856.
Calcule:
F_x \approx -80 + 68{,}0700856 = -11{,}9299144\\ \mathrm{N}\approx -11{,}9\\ \mathrm{N}.
Interpretação rápida do sinal: F_x<0 significa que a componente do vento está apontando para baixo ao longo da rampa (ajudando a gravidade).

Resposta

F_x \approx 68{,}1\\ \mathrm{N}
F_x \approx 28{,}1\\ \mathrm{N}
F_x \approx -11{,}9\\ \mathrm{N}

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