Questāo 2 (2,0 pontos)
Um bloco de massa
está preso a uma mola ideal de constante elástica
, sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco é puxado até uma distância
da posição de equilíbrio e solto. Em determinado instante, o bloco está na posição
, medida a partir da posição de equilíbrio.
Determine:
a) a frequência angular do movimento;
Um bloco de massa
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa (peguei os valores mostrados no enunciado e na imagem):
- Massa do bloco:
. - Constante elástica da mola:
. - Amplitude do movimento (posição de máximo afastamento):
. - Em certo instante o bloco está em
(medida a partir da posição de equilíbrio). - Pergunta: (a) determinar a frequência angular do movimento.
(Observação: os valores de
e
aparecem também na imagem fornecida; os valores de
e
vieram do texto do enunciado.)
Passo 2
Entendendo a situação física (passo didático curto e direto): a mola exerce sobre o bloco uma força elástica que obedece à lei de Hooke. A lei de Hooke diz que a força da mola é proporcional ao deslocamento e aponta para o ponto de equilíbrio. Em linguagem matemática:
Aqui:
-
é a força resultante exercida pela mola (em newtons), -
é a constante elástica da mola (em ), -
é o deslocamento do bloco em relação à posição de equilíbrio (em metros), - o sinal negativo indica que a força é restauradora (aponta para o centro).
Aplicando a segunda lei de Newton (
) ao bloco temos a equação de movimento.
Passo 3
Escrevendo a equação de movimento e chegando à forma padrão de oscilador harmônico:
onde
é a aceleração (segunda derivada de
em relação ao tempo). Reorganizando:
Essa é a equação diferencial do movimento harmônico simples. As soluções dessa equação são funções senoidais (ou cossenoidais) da forma
, em que o parâmetro
(a frequência angular) satisfaz:
Aqui:
-
é a frequência angular (em ), -
é a amplitude (em metros), -
é a fase inicial (em radianos).
Resumo: para esse sistema massa-mola sem atrito, basta usar
.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos (estou pegando
e
do enunciado):
Tomando a raiz quadrada:
Explicação das unidades: como
tem unidades
e dividindo por
(kg) obtém-se
; a raiz dá
, ou seja
para a frequência angular.
Passo 5
Comentário didático rápido (dica de prova): a frequência angular
é o que aparece na solução senoidal e relaciona-se com a frequência comum
(em hertz) por
Se for útil na prova, pode-se obter
. Aqui, por exemplo,
, mas o que a questão pediu em (a) foi
.
Força extra de ânimo: esse tipo de cálculo é sempre o mesmo — lembrar da fórmula
salva tempo na prova. Você já conseguiu!