Questāo 2 (2,0 pontos)
Um bloco de massa m=0,50 \mathrm{~kg} está preso a uma mola ideal de constante elástica k= 200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco é puxado até uma distância A=8,0 \mathrm{~cm} da posição de equilíbrio e solto. Em determinado instante, o bloco está na posição x=3,0 \mathrm{~cm}, medida a partir da posição de equilíbrio.
Determine:
a) a frequência angular do movimento;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa (peguei os valores mostrados no enunciado e na imagem):
  • Massa do bloco: m=0,50\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=200\\ \mathrm{N/m}.
  • Amplitude do movimento (posição de máximo afastamento): A=8{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Em certo instante o bloco está em x=3{,}0\\ \mathrm{cm} (medida a partir da posição de equilíbrio).
  • Pergunta: (a) determinar a frequência angular do movimento.
(Observação: os valores de A e x aparecem também na imagem fornecida; os valores de m e k vieram do texto do enunciado.)

Passo 2

Entendendo a situação física (passo didático curto e direto): a mola exerce sobre o bloco uma força elástica que obedece à lei de Hooke. A lei de Hooke diz que a força da mola é proporcional ao deslocamento e aponta para o ponto de equilíbrio. Em linguagem matemática:
F = -k x.
Aqui:
  • F é a força resultante exercida pela mola (em newtons),
  • k é a constante elástica da mola (em \mathrm{N/m}),
  • x é o deslocamento do bloco em relação à posição de equilíbrio (em metros),
  • o sinal negativo indica que a força é restauradora (aponta para o centro).
Aplicando a segunda lei de Newton ( F = m a) ao bloco temos a equação de movimento.

Passo 3

Escrevendo a equação de movimento e chegando à forma padrão de oscilador harmônico:
m\ddot{x} = -k x,
onde \ddot{x} é a aceleração (segunda derivada de x em relação ao tempo). Reorganizando:
\ddot{x} + \frac{k}{m}\,x = 0.
Essa é a equação diferencial do movimento harmônico simples. As soluções dessa equação são funções senoidais (ou cossenoidais) da forma x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), em que o parâmetro \omega (a frequência angular) satisfaz:
\omega^2 = \frac{k}{m}.
Aqui:
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}),
  • A é a amplitude (em metros),
  • \varphi é a fase inicial (em radianos).
Resumo: para esse sistema massa-mola sem atrito, basta usar \omega=\sqrt{k/m}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos (estou pegando k e m do enunciado):
\frac{k}{m}=\frac{200}{0{,}50}=400\\ \mathrm{s^{-2}}.
Tomando a raiz quadrada:
\omega=\sqrt{400}=20\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação das unidades: como k tem unidades \mathrm{N/m}=(\mathrm{kg\;m/s^2})/\mathrm{m}=\mathrm{kg/s^2} e dividindo por m (kg) obtém-se 1/\mathrm{s^2}; a raiz dá 1/\mathrm{s}, ou seja \mathrm{rad/s} para a frequência angular.

Passo 5

Comentário didático rápido (dica de prova): a frequência angular \omega é o que aparece na solução senoidal e relaciona-se com a frequência comum f (em hertz) por
\omega = 2\pi f.
Se for útil na prova, pode-se obter f=\omega/(2\pi). Aqui, por exemplo, f=20/(2\pi)\approx3{,}18\\ \mathrm{Hz}, mas o que a questão pediu em (a) foi \omega.
Força extra de ânimo: esse tipo de cálculo é sempre o mesmo — lembrar da fórmula \omega=\sqrt{k/m} salva tempo na prova. Você já conseguiu!

Resposta

\omega = 20\\ \mathrm{rad/s}

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