17 Calcule o limite, se existir.
lim x 2 x^2+x-6x-2
lim x -4 x^2+5 x+4x^2+3 x-4
lim x 2 x^2-x+6x-2
lim x 4 x^2-4 xx^2-3 x-4
lim t -3 t^2-92 t^2+7 t+3
lim x -1 x^2-4 xx^2-3 x-4
lim h 0 (4+h)^2-16h
lim x 1 x^3-1x^2-1
lim x -2 x+2x^3+8
lim h 0 (2+h)^3-8h
lim t 9 9-t3-raizt
lim h 0 raiz1+h-1h
lim x 7 raizx+2-3x-7
lim x 2 x^4-16x-2
lim x -4 14+1x4+x
lim t 0(1t-1t^2+t)
lim x 9 x^2-81raizx-3
lim h 0 (3+h)^-1-3^-1h
lim t 0(1t raiz1+t-1t)
lim x -4 raizx^2+9-5x+4

Passo 1

Temos uma lista de limites que se apresentam em três formas principais: frações que dão 0/0 e exigem fatoração, quocientes incrementais que dão derivadas (diferença de polinômios sobre h), e expressões que dão 0/0 e pedem racionalização pelo conjugado. Vamos agrupar e resolver cada tipo.

Passo 2

Limites que se resolvem por fatoração de polinômios e cancelamento de fatores comuns (itens 1 a 6):
  1. limxto2x^2+x-6x-2=limxto2(x-2)(x+3)x-2=x+3|x=2=5
  2. limxto-4x^2+5x+4x^2+3x-4=(x+1)(x+4)(x+4)(x-1)|x=-4=x+1x-1|x=-4=-3-5=35
  3. limxto2x^2-x+6x-2: o numerador vale 4-2+6=8neq0 e o denominador vai a 0, logo há descontinuidade infinita e o limite não existe (é pminfty).
  4. limxto4x^2-4xx^2-3x-4=x(x-4)(x-4)(x+1)|x=4=xx+1|x=4=45
  5. limtto-3t^2-92t^2+7t+3=(t-3)(t+3)(2t+1)(t+3)|t=-3=t-32t+1|t=-3=-6-5=65
  6. limxto-1x^2-4xx^2-3x-4: numerador tende a 1+4=5neq0, denominador tende a 0, limite infinito, não existe finitamente.

Passo 3

Diferença quociente de polinômios (itens 7 a 10):
7. limhto0(4+h)^2-16h=limhto08h+h^2h=8+h|h=0=8
8. limxto1x^3-1x^2-1=(x-1)(x^2+x+1)(x-1)(x+1)|x=1=x^2+x+1x+1|x=1=32
9. limxto-2x+2x^3+8=x+2(x+2)(x^2-2x+4)|x=-2=1x^2-2x+4|x=-2=112
10. limhto0(2+h)^3-8h=limhto012h+6h^2+h^3h=12+6h+h^2|h=0=12

Passo 4

Racionalização por conjugado (itens 11 a 15):
11. limtto99-t3-raizt=limtto9(9-t)(3+raizt)9-t=3+raizt|t=9=6
12. limhto0raiz1+h-1h=limhto0hh(raiz1+h+1)=1raiz1+h+1|h=0=tfrac12
13. limxto7raizx+2-3x-7=x+2-9(x-7)(raizx+2+3)|x=7=1raiz9+3=16
14. limxto2x^4-16x-2=(x-2)(x+2)(x^2+4)x-2|x=2=(x+2)(x^2+4)|x=2=4cdot8=32
15. limxto-4tfrac14+tfrac1x4+x=tfracx+44xx+4|x=-4=14x|x=-4=-tfrac116

Passo 5

Os últimos limites por simplificação algébrica e racionalização (itens 16 a 20):
16. limtto0l(1t-1t^2+tr)=t^2+t - tt(t^2+t)=1t+1|t=0=1
17. limxto9x^2-81raizx-3=limxto9(x-9)(x+9)raizx-3cdotraizx+3raizx+3=(x+9)(raizx+3)|x=9=18cdot6=108
18. limhto0(3+h)^-1-3^-1h=tfrac13+h-tfrac13h=-h3(3+h),h=-13(3+h)|h=0=-tfrac19
19. limtto0l(1traiz1+t-1tr)=1-raiz1+ttraiz1+t=!-,1raiz1+t(1+raiz1+t)|t=0=-tfrac12
20. limxto-4raizx^2+9-5x+4=x^2+9-25(x+4)(raizx^2+9+5)=(x-4)(x+4)(x+4)(dots)|x=-4=x-4raizx^2+9+5|x=-4=-tfrac810=-tfrac45

Resposta

  1. 5
  2. tfrac35
  3. não existe (infinito)
  4. tfrac45
  5. tfrac65
  6. não existe (infinito)
  7. 8
  8. tfrac32
  9. tfrac112
  10. 12
  11. 6
  12. tfrac12
  13. tfrac16
  14. 32
  15. -tfrac116
  16. 1
  17. 108
  18. -tfrac19
  19. -tfrac12
  20. -tfrac45

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