17 Calcule o limite, se existir.
Passo 1
Temos uma lista de limites que se apresentam em três formas principais: frações que dão
e exigem fatoração, quocientes incrementais que dão derivadas (diferença de polinômios sobre
), e expressões que dão
e pedem racionalização pelo conjugado. Vamos agrupar e resolver cada tipo.
Passo 2
Limites que se resolvem por fatoração de polinômios e cancelamento de fatores comuns (itens 1 a 6):
-
-
limxto-4x^2+5x+4x^2+3x-4=(x+1)(x+4)(x+4)(x-1)|x=-4=x+1x-1|x=-4=-3-5=35 -
: o numerador valelimxto2x^2-x+6x-2 e o denominador vai a 0, logo há descontinuidade infinita e o limite não existe (é4-2+6=8neq0 ).pminfty -
limxto4x^2-4xx^2-3x-4=x(x-4)(x-4)(x+1)|x=4=xx+1|x=4=45 -
limtto-3t^2-92t^2+7t+3=(t-3)(t+3)(2t+1)(t+3)|t=-3=t-32t+1|t=-3=-6-5=65 -
: numerador tende alimxto-1x^2-4xx^2-3x-4 , denominador tende a 0, limite infinito, não existe finitamente.1+4=5neq0
Passo 3
Diferença quociente de polinômios (itens 7 a 10):
7.limhto0(4+h)^2-16h=limhto08h+h^2h=8+h|h=0=8
8.limxto1x^3-1x^2-1=(x-1)(x^2+x+1)(x-1)(x+1)|x=1=x^2+x+1x+1|x=1=32
9.limxto-2x+2x^3+8=x+2(x+2)(x^2-2x+4)|x=-2=1x^2-2x+4|x=-2=112
10.limhto0(2+h)^3-8h=limhto012h+6h^2+h^3h=12+6h+h^2|h=0=12
7.
8.
9.
10.
Passo 4
Racionalização por conjugado (itens 11 a 15):
11.limtto99-t3-raizt=limtto9(9-t)(3+raizt)9-t=3+raizt|t=9=6
12.limhto0raiz1+h-1h=limhto0hh(raiz1+h+1)=1raiz1+h+1|h=0=tfrac12
13.limxto7raizx+2-3x-7=x+2-9(x-7)(raizx+2+3)|x=7=1raiz9+3=16
14.limxto2x^4-16x-2=(x-2)(x+2)(x^2+4)x-2|x=2=(x+2)(x^2+4)|x=2=4cdot8=32
15.limxto-4tfrac14+tfrac1x4+x=tfracx+44xx+4|x=-4=14x|x=-4=-tfrac116
11.
12.
13.
14.
15.
Passo 5
Os últimos limites por simplificação algébrica e racionalização (itens 16 a 20):
16.limtto0l(1t-1t^2+tr)=t^2+t - tt(t^2+t)=1t+1|t=0=1
17.limxto9x^2-81raizx-3=limxto9(x-9)(x+9)raizx-3cdotraizx+3raizx+3=(x+9)(raizx+3)|x=9=18cdot6=108
18.limhto0(3+h)^-1-3^-1h=tfrac13+h-tfrac13h=-h3(3+h),h=-13(3+h)|h=0=-tfrac19
19.limtto0l(1traiz1+t-1tr)=1-raiz1+ttraiz1+t=!-,1raiz1+t(1+raiz1+t)|t=0=-tfrac12
20.limxto-4raizx^2+9-5x+4=x^2+9-25(x+4)(raizx^2+9+5)=(x-4)(x+4)(x+4)(dots)|x=-4=x-4raizx^2+9+5|x=-4=-tfrac810=-tfrac45
16.
17.
18.
19.
20.
Resposta
-
5 -
tfrac35 - não existe (infinito)
-
tfrac45 -
tfrac65 - não existe (infinito)
-
8 -
tfrac32 -
tfrac112 -
12 -
6 -
tfrac12 -
tfrac16 -
32 -
-tfrac116 -
1 -
108 -
-tfrac19 -
-tfrac12 -
-tfrac45