22 Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular seis limites que envolvem valor absoluto e limites unilaterais. O conteúdo principal é entender a definição piecewise de
e aplicar isso em cada expressão, além de avaliar limites laterais quando indicado. Vamos usar também cancelamento de fatores para identificar limites finitos ou divergentes.
Passo 2
Calculando limxto3l(2x+|x-3|r).
Para x<3 temos |x-3|=3-x, então a função é 2x+(3-x)=x+3. Para x>3 temos |x-3|=x-3, então é 2x+(x-3)=3x-3. Avaliando cada ramo em x=3:
limxto3^-(x+3)=6, limxto3^+(3x-3)=6
Como coincidem, o limite existe e vale 6.
Passo 3
Calculando limxto-62x+12|x+6|.
Note que 2x+12=2(x+6). Para x>-6 temos |x+6|=x+6, logo a fração é 2(x+6)/(x+6)=2. Para x<-6 temos |x+6|=-(x+6), logo é 2(x+6)/[-(x+6)]=-2. Como
limxto-6^- = -2 neq limxto-6^+ = 2,
o limite não existe.
Passo 4
Calculando limxto0,5^-2x-1l|2x^3-x^2r|.
Fatoramos 2x^3-x^2 = x^2(2x-1). Para x<0,5 temos 2x-1<0, então
l|2x^3-x^2r| = -l(x^2(2x-1)r) = x^2(1-2x)
Assim a expressão fica
2x-1x^2(1-2x) = 2x-1-,x^2(2x-1) = -1x^2,
para xneq0,5. Portanto
limxto0,5^-2x-1l|2x^3-x^2r| = -1(0,5)^2 = -4
Passo 5
Calculando limxto-22-|x|2+x.
Perto de -2 temos x<0, então |x|=-x e o numerador é 2-(-x)=2+x. Assim
2-|x|2+x = 2+x2+x=1,
para xneq-2. Logo o limite existe e vale 1.
Passo 6
Calculando limxto0^-l(tfrac1x-tfrac1|x|r).
Para x<0 temos |x|=-x, de modo que
tfrac1|x| = tfrac1-x = -tfrac1x,
e a expressão vira
tfrac1x - l(-tfrac1xr) = tfrac2x
Como xto0^-, 2/xto -infty. O limite diverge para -infty.
Passo 7
Calculando limxto0^+l(tfrac1x-tfrac1|x|r).
Para x>0 temos |x|=x, então
tfrac1x - tfrac1|x| = tfrac1x - tfrac1x = 0
para xneq0. Portanto o limite existe e vale 0.
Resposta
limxto3(2x+|x-3|)=6 limxto-62x+12|x+6| não existe limxto0,5^-2x-1|2x^3-x^2|=-4 limxto-22-|x|2+x=1 limxto0^-l(tfrac1x-tfrac1|x|r)=-infty limxto0^+l(tfrac1x-tfrac1|x|r)=0