Ex. 11 Determine uma equação do plano tangente à superficie dada no ponto indicadao:
z=4 x y. P=(4,1 / 4,4)

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=4xy e pede o plano tangente em P=(4,tfrac14,4). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e aplicação da fórmula do plano tangente para funções de duas variáveis.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=4xy:
fx(x,y)=4y,
fy(x,y)=4x

Passo 3

Avaliar as derivadas em (x0,y0)=(4,tfrac14):
fx(4,tfrac14)=4cdottfrac14=1,
fy(4,tfrac14)=4cdot4=16

Passo 4

A fórmula do plano tangente em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)
Substituindo x0=4, y0=tfrac14, z0=4, fx=1 e fy=16:
z - 4 = 1,(x-4) + 16,(y-tfrac14)
Expandindo e simplificando:
z = x + 16y - 4

Resposta

z = x + 16y - 4

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