(17) Em um circuito L C oscilante com C= 64,0 \mu \mathrm{~F} a corrente é dada por i=(1,60) \operatorname{sen}(2500 t +0,680 ), onde t está em segundos, i em ampères e a constante de fase em radianos . (a) Quanto tempo após o instante t=0 a corrente atinge o valor máximo? (b) Qual é o a valor da indutância L ? (c) Qual a energia total?

Passo 1

O enunciado dá um circuito oscilante LC com C=64,0\,\mu\mathrm{F} e corrente
i(t)=1,60\sin\bigl(2500\,t+0,680\bigr),
onde t está em segundos e i em ampères. Precisamos encontrar:
– (a) o primeiro instante em que i(t) atinge seu valor máximo;
– (b) o valor da indutância L, sabendo que a frequência angular é \omega=2500\\ \mathrm{rad/s} e \omega=1/\sqrt{LC};
– (c) a energia total armazenada no circuito.

Passo 2

Para que i(t) atinja o valor máximo, o argumento do seno deve ser
2500\,t + 0,680 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
O menor t>0 ocorre para k=0. Assim,
2500\,t + 0,680 = \frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\tfrac{\pi}{2}-0,680}{2500} \approx 3,56\times 10^{-4}\,\mathrm{s}.

Passo 3

A frequência angular é \omega=2500\\ \mathrm{rad/s} e vale
\omega = \frac{1}{\sqrt{L\,C}} \quad\Longrightarrow\quad L = \frac{1}{C\,\omega^{2}}.
Substituindo C=64,0\times10^{-6}\,\mathrm{F} e \omega=2500,
L = \frac{1}{64,0\times10^{-6}\times(2500)^{2}} =2,50\times10^{-3}\,\mathrm{H}.

Passo 4

A energia total no circuito LC é constante e pode ser calculada em qualquer instante; usando o pico de corrente I_{\max}=1,60\\ \mathrm{A},
E = \frac{1}{2}\,L\,I_{\max}^{2} = \frac{1}{2}\times2,50\times10^{-3}\times(1,60)^{2} =3,20\times10^{-3}\,\mathrm{J}.

Resposta

(a) t\approx3,56\times10^{-4}\,\mathrm{s}.
(b) L=2,50\times10^{-3}\,\mathrm{H}.
(c) E=3,20\times10^{-3}\,\mathrm{J}.

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