(21) Em um circuito L C oscilante, L=3,00 \mathrm{mH} e C=2,70 \mu \mathrm{H}. No instante t=0 a carga do capacitor é zero e a corrente é 2,00 \mathrm{~A}. (a) Qual é a carga máxima do capacitor? (b) Em que instante de tempo t>0 a taxa com a qual a energia é armazenada no capacitor é máxima pela primeira vez? (c) Qual o valor dessa taxa?

Passo 1

O enunciado trata de um circuito L C oscilante com L=3,00\;\mathrm{mH} e C=2,70\;\mu\mathrm{F}. No instante t=0 temos q(0)=0 e i(0)=2,00\;\mathrm A. Vamos usar conservação de energia (toda energia magnética inicial em L passa para C no ponto de carga máxima) e as equações do movimento harmônico:
\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}},\quad q(t)=Q_{\max}\sin(\omega t),\quad i(t)=\frac{dq}{dt}=Q_{\max}\,\omega\cos(\omega t).

Passo 2

Para achar a carga máxima no capacitor, igualamos a energia magnética inicial à energia elétrica máxima em C:
\frac12\,L\,i(0)^2 \;=\;\frac{Q_{\max}^2}{2\,C}.
Dessa igualdade segue
Q_{\max} \;=\; i(0)\,\sqrt{L\,C} \;\;\longrightarrow\;\; Q_{\max}=2,00\;\mathrm A\;\sqrt{3{,}00\times10^{-3}\,\mathrm H\;\times\;2{,}70\times10^{-6}\,\mathrm F} \;\approx\;1{,}80\times10^{-4}\,\mathrm C.

Passo 3

A taxa de variação da energia no capacitor é
\frac{dU_C}{dt} \;=\;\frac{d}{dt}\biggl(\frac{q^2}{2C}\biggr) \;=\;\frac{q}{C}\,\frac{dq}{dt} \;=\;\frac{q}{C}\,i \;=\;\frac{Q_{\max}^2\,\omega}{2\,C}\,\sin(2\omega t).
Para maximizar essa expressão precisamos de \sin(2\omega t)=1, ou seja
2\,\omega\,t = \frac{\pi}{2} \;\;\Longrightarrow\;\; t = \frac{\pi}{4\,\omega} =\frac{\pi}{4}\,\sqrt{L\,C}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos em t:
t=\frac{\pi}{4}\,\sqrt{3{,}00\times10^{-3}\times2{,}70\times10^{-6}} \;\approx\;7{,}07\times10^{-5}\;\mathrm{s}.

Passo 5

O valor máximo da taxa é
\biggl(\frac{dU_C}{dt}\biggr)_{\max} =\frac{Q_{\max}^2\,\omega}{2\,C} \;=\;\frac{i(0)^2}{2}\,\sqrt{\frac{L}{C}} \;\approx\;\frac{(2{,}00)^2}{2}\,\sqrt{\frac{3{,}00\times10^{-3}}{2{,}70\times10^{-6}}} \;\approx\;66{,}7\;\mathrm W.

Resposta

(a) Q_{\max}=1{,}80\times10^{-4}\,\mathrm C
(b) t=\dfrac{\pi}{4}\sqrt{LC}\approx7{,}07\times10^{-5}\,\mathrm s
(c) \bigl(dU_C/dt\bigr)_{\max}\approx66{,}7\,\mathrm W

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