4- ( 2,0 pontos) O motor de um veículo funciona numa rotação máxima de 8.000 rpm. O pistão desse motor tem um tamanho (espaço total para se mover) de 20 cm . Para escolher o óleo de lubrificação adequado devemos calcular a velocidade máxima que o pistão alcança. a) Considere o sistema como um MHS calcule a velocidade máxima do pistão. b) Calcule a aceleração máxima que o pistão sofre e considerando um pistão de 1 Kg calcule a força máxima que o motor faz sobre o pistão.

Passo 1

O enunciado diz que o pistão faz um movimento harmônico simples (MHS) com curso total de 20,cm, em rotação máxima de 8\,000,rpm. Para resolver precisamos saber que num MHS a velocidade máxima é
v_{\max}=A\,\omega
e a aceleração máxima é
a_{\max}=A\,\omega^{2}
onde A é a amplitude do movimento e \omega a velocidade angular. Também precisaremos converter 8\,000,rpm em \omega.

Passo 2

Converter a rotação em frequência e depois em velocidade angular.
f = \frac{8\,000}{60}\,\text{Hz} = 133{,}3\overline{3}\,\text{Hz}
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 133{,}3\overline{3}\,\mathrm{rad/s}\approx 837{,}8\,\mathrm{rad/s}

Passo 3

Determinar a amplitude A. Como o curso total é 2A=20,cm, temos
A = \frac{20\,\text{cm}}{2} = 10\,\text{cm} = 0{,}10\,\text{m}.

Passo 4

Calcular a velocidade máxima:
v_{\max}=A\,\omega = 0{,}10\,\mathrm{m}\times 837{,}8\,\mathrm{rad/s}\approx 83{,}8\,\mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a aceleração máxima:
a_{\max}=A\,\omega^{2} = 0{,}10\,\mathrm{m}\times(837{,}8\,\mathrm{rad/s})^{2}\approx 0{,}10\times 702{\,}900\,\mathrm{(rad/s)^{2}}\approx 70\,290\,\mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Com m=1,kg, a força máxima é
F_{\max}=m\,a_{\max}=1\,\mathrm{kg}\times 70\,290\,\mathrm{m/s^{2}}\approx 70\,290\,\mathrm{N}.

Resposta

a) v_{\max}\approx 83{,}8\,\mathrm{m/s}.
b) a_{\max}\approx 70\,290\,\mathrm{m/s^{2}} e F_{\max}\approx 70\,290\,\mathrm{N}.

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