3- (2,0 pontos) Um objeto em movimento harmônico simples tem amplitude de 8,0 \mathrm{~cm} e frequência de 5 \mathrm{~Hz} . \mathrm{Em} t=0 \mathrm{~s}, ele tem velocidade nula e a mola o puxa no sentido positivo do eixo x. Escreva a função x(t) que descreve a posição do objeto.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento harmônico simples com amplitude de 8{,}0\\ \mathrm{cm} e frequência de 5\\ \mathrm{Hz}. Em t=0 a velocidade é nula e a mola puxa o objeto no sentido positivo de x. Nosso objetivo é achar a função x(t) que descreve essa oscilação, usando a forma geral de SOL do MHS:
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr).

Passo 2

Calculamos a pulsação \omega a partir da frequência f:
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5 = 10\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Usamos as condições iniciais em t=0:
— Velocidade nula v(0)=0 implica
v(t)=-A\,\omega\sin(\omega t+\varphi)\quad\Longrightarrow\quad v(0)=-A\,\omega\sin\varphi=0,
logo \sin\varphi=0 e \varphi=0 ou \pi.
— A mola puxa no sentido positivo, ou seja, a aceleração a(0) deve ser positiva. Como
a(t)=-A\,\omega^2\cos(\omega t+\varphi),
temos
a(0)=-A\,\omega^2\cos\varphi>0\quad\Longrightarrow\quad\cos\varphi<0,
logo \varphi=\pi.

Passo 4

Com \varphi=\pi a solução fica
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\pi\bigr).
Substituindo A=8{,}0\\ \mathrm{cm} e \omega=10\pi, obtemos
x(t)=8{,}0\cos\bigl(10\pi\,t+\pi\bigr)\\ \mathrm{cm}.
Como \cos(\theta+\pi)=-\cos\theta, podemos reescrever

Passo 5

x(t)=-8{,}0\cos(10\pi\,t)\\ \mathrm{cm}.

Resposta

x(t)=-8{,}0\cos(10\pi\,t)\\ \mathrm{cm}.

Exercícios relacionados