17 Um cone circular reto tem 3 cm de altura e área lateral de 20 pi cm^2. Calcule a área de uma secção meridiana desse cone.

Passo 1

O enunciado dá um cone circular reto de altura h=3 cm e área lateral Alat=20pi cm². Pede-se a área da seção meridiana, isto é, do triângulo formado pelo plano que contém o eixo do cone. Para resolver, vamos usar a fórmula da área lateral do cone e depois relacionar raio, geratriz e altura, sabendo que a seção meridiana é um triângulo de base 2R e altura h.

Passo 2

A área lateral de um cone circular reto é dada por
Alat = pi R s,
onde R é o raio da base e s a geratriz. Como Alat=20pi, temos
pi R s = 20pi Longrightarrow R,s = 20

Passo 3

A geratriz s e o raio R satisfazem o teorema de Pitágoras no triângulo geratriz–raio–altura:
s = raizR^2 + h^2 = raizR^2 + 3^2 = raizR^2 + 9
Substituindo em R s =20,
RraizR^2+9 = 20 Longrightarrow R^2(R^2+9) = 400 Longrightarrow R^4 + 9R^2 - 400 = 0
Fazendo X=R^2, solve-se X^2+9X-400=0, com solução positiva X=16. Logo
R^2 = 16 Longrightarrow R = 4 cm,
e então
s = 20R = 204 = 5 cm

Passo 4

A seção meridiana é um triângulo isósceles de base 2R e altura h. Sua área é
Áreasec = 12times (2R)times h = R,h Á
Substituindo R=4 cm e h=3 cm, obtemos
Áreasec = 4 times 3 = 12 cm^2 Á

Resposta

A área da seção meridiana é 12 cm².

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