Determine os valores de:
(1+i)^2 i+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência de um número complexo não-inteiro:
O conteúdo envolvido é o uso da forma polar de um número complexo, logaritmo principal e a identidade de Euler . Vamos:
  1. escrever em forma polar;
  2. usar a definição
com a rama principal ;
3) simplificar o expoente resultante.

Passo 2

Calcular o módulo e o argumento de .
(no ramo principal ).
Logo,

Passo 3

Aplicar a definição de potência complexa:
onde
Portanto,

Passo 4

Multiplicar o expoente e separar em parte real e imaginária:
(3+2i)l(tfracln22 + itfracpi4r) = 3cdottfracln22 + 3,itfracpi4 + 2icdottfracln22 + 2icdot itfracpi4
Como icdot i=-1, isso dá
3ln22 + i3pi4 + iln2 - 2pi4 = l(tfrac3ln22 - tfracpi2r) + il(ln2 + tfrac3pi4r)

Passo 5

Substituindo de volta em e^(cdot), obtemos a forma exponencial-polar:
(1+i)^2i+3 = e^3ln22 - pi2 ;e^,il(ln2 + tfrac3pi4r)
Usando Euler, também podemos escrever em forma cartesiana:
(1+i)^2i+3 = e^3ln22 - pi2 l[cos!l(ln2 + tfrac3pi4r) +isin!l(ln2 + tfrac3pi4r)r]

Resposta

(1+i)^2i+3 = e^3ln22 - pi2 ;e^,il(ln2 + tfrac3pi4r) = e^3ln2-pi2 ;l[cos(ln2+tfrac3pi4)+isin(ln2+tfrac3pi4)r]

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