Diagonalize ortogonalmente as matrizes abaixo
(d) [cc1 & 2 2 & -2]

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização ortogonal da matriz
A = 1 & 2 [6pt] 2 & -2
Como A é simétrica, sabemos que existe uma base ortonormal de autovetores. Vamos
1) calcular os autovalores resolvendo det(A - lambda I)=0,
2) achar os autovetores correspondentes e normalizá-los,
3) montar a matriz ortogonal P cujas colunas são esses autovetores, de modo que
P^T A P = D
é diagonal.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 2 [4pt] 2 & -2-lambda = (1-lambda)(-2-lambda) - 2cdot 2
= l(lambda^2 + lambda -2r) - 4 = lambda^2 + lambda -6
Portanto,
lambda^2 + lambda -6 = 0 Longrightarrow lambda = -1pmraiz1+242 = -1pm52
Logo os autovalores são
lambda1 = 2, lambda2 = -3
]

Passo 3

Autovetor associado a :
resolvemos , ou seja
Escolhendo , um autovetor é . Normalizando
]

Passo 4

Autovetor associado a :
resolvemos , ou seja
Escolhendo , um autovetor é . Normalizando
]

Passo 5

Formamos a matriz ortogonal P cujas colunas são e1 e e2, e o diagonal D:
P = 1raiz5 2 & 1 [4pt] 1 & -2 , D = 2 & 0 [4pt] 0 & -3
Verifica-se que
P^T A P = D,
ou seja
A = P,D,P^T
é a diagonalização ortogonal desejada.]

Resposta

P = 1raiz5 2 & 1 [4pt] 1 & -2 , D = 2 & 0 [4pt] 0 & -3
]

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