Diagonalize ortogonalmente as matrizes abaixo
(i) [ccc1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização ortogonal da matriz
A = 1 & 0 & -1[6pt] 0 & 1 & 0[6pt] -1 & 0 & 1
Como A é real e simétrica, pelo Teorema Espectral ela admite uma base ortonormal de autovetores, isto é, existe matriz ortogonal P tal que
P^T A P = D
é diagonal.]

Passo 2

Note que o vetor canônico
e2 = (0,1,0)^T
satisfaz
A,e2 = 1&0&-10&1&0-1&0&1010 = 010 =1cdot e2,
logo lambda=1 é um autovalor com autovetor e2.

Passo 3

O subespaço ortogonal a e2 é spane1,e3. Na base e1,e3, A atua como
1 & -1[3pt]-1 & 1
Seu polinômio característico é
det!l[(1-lambda),I -(-1)r] = (1-lambda)^2 -1 =lambda(lambda-2),
logo os outros dois autovalores são
lambda=0 e lambda=2.]

Passo 4

Para o sistema em dá a relação
um autovetor é .
Para o sistema
um autovetor é .]

Passo 5

Agora normalizamos os três autovetores e montamos P cujas colunas são esses vetores ortonormais:
v1 = 1raiz2,(1,0,-1)^T, v2 = 1raiz2,(1,0,1)^T, v3 = (0,1,0)^T
Então
P = dfrac1raiz2 & dfrac1raiz2 & 0[8pt] 0 & 0 & 1[4pt] -dfrac1raiz2 & dfrac1raiz2 & 0 ,
é ortogonal ( P^T P=I) e leva A em
D = P^T A P = 2 & 0 & 0[3pt] 0 & 0 & 0[3pt] 0 & 0 & 1 ]

Resposta

A diagonalização ortogonal é
A = P,D,P^T,
onde
P = dfrac1raiz2 & dfrac1raiz2 & 0[8pt] 0 & 0 & 1[4pt] -dfrac1raiz2 & dfrac1raiz2 & 0 , D = 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ]

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