Diagonalize ortogonalmente as matrizes abaixo
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado pede a diagonalização ortogonal da matriz
Como
A é real e simétrica, pelo Teorema Espectral ela admite uma base ortonormal de autovetores, isto é, existe matriz ortogonal
P tal que
é diagonal.]
Passo 2
Note que o vetor canônico
e2 = (0,1,0)^T
satisfaz
satisfaz
logo
lambda=1 é um autovalor com autovetor
e2 .
Passo 3
O subespaço ortogonal a
e2 é
spane1,e3 . Na base
e1,e3 ,
A atua como
Seu polinômio característico é
logo os outros dois autovalores são
lambda=0 e
lambda=2 .]
Passo 4
Para
o sistema
em
dá a relação
um autovetor é
.
Para o sistema
dá
Para
um autovetor é
.]
Passo 5
Agora normalizamos os três autovetores e montamos
P cujas colunas são esses vetores ortonormais:
Então
é ortogonal (
P^T P=I ) e leva
A em
Resposta
A diagonalização ortogonal é
onde