[17] Determine, usando integral dupla, a área da região no primeiro quadrante delimitada pela curva polar r=2+cos theta e as curvas cartesianas y=x e y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante, limitada pela curva polar r=2+costheta e pelas retas cartesianas y=0 e y=x. O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares, envolvendo integral dupla.

Passo 2

Em coordenadas polares, a reta y=0 corresponde a theta=0 e a reta y=x a theta=pi/4. No primeiro quadrante, ficamos com 0<=theta<=pi/4. O raio r varia de 0 até a curva r=2+costheta.

Passo 3

A fórmula para área em coordenadas polares é
A=integral duplaR dA=integraltheta=0^pi/4integralr=0^2+costhetar,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em r:
integral0^2+costhetar,dr=12r^2|0^2+costheta=12(2+costheta)^2

Passo 5

Assim a área fica
A=12integral0^pi/4(2+costheta)^2,dtheta
Expandimos o quadrado: (2+costheta)^2=4+4costheta+cos^2theta e usamos cos^2theta=1+cos2theta2.

Passo 6

Substituindo na integral:
A=12integral0^pi/4l(4+4costheta+1+cos2theta2r),dtheta =12integral0^pi/4l(92+4costheta+12cos2thetar),dtheta
Integramos termo a termo.

Passo 7

Calculando a integral:
A=12l[92theta+4sintheta+14sin2thetar]0^pi/4 =12l(9pi8+2raiz2+14r) =9pi16+raiz2+18

Resposta

9pi16+raiz2+18

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