[17] Determine, usando integral dupla, a área da região no primeiro quadrante delimitada pela curva polar e as curvas cartesianas e .
Passo 1
O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante, limitada pela curva polar e pelas retas cartesianas e . O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares, envolvendo integral dupla.
Passo 2
Em coordenadas polares, a reta corresponde a e a reta a . No primeiro quadrante, ficamos com . O raio varia de 0 até a curva .
Passo 3
A fórmula para área em coordenadas polares é
Passo 4
Integramos primeiro em :
Passo 5
Assim a área fica
A=12integral0^pi/4(2+costheta)^2,dtheta
Expandimos o quadrado: (2+costheta)^2=4+4costheta+cos^2theta e usamos cos^2theta=1+cos2theta2.