Calcule g^prime(x) onde

Passo 1

O exercício diz: calcular a derivada de
g(x)=integralraizx^2raizxsinl(t^2r),dt
O conteúdo é a regra de Leibniz para derivar integrais com limites dependentes de x. Vamos usar a fórmula:
g'(x)=fl(b(x)r),b'(x)-fl(a(x)r),a'(x),
onde f(t)=sin(t^2), a(x)=raizx e b(x)=2raizx.

Passo 2

Identificamos os limites e calculamos suas derivadas:
a(x)=raizx, a'(x)=12raizx;
b(x)=2raizx, b'(x)=2cdot12raizx=1raizx

Passo 3

Avaliamo: f(a(x))=sinl((raizx)^2r)=sin(x) e f(b(x))=sinl((2raizx)^2r)=sin(4x).

Passo 4

Aplicamos a regra de Leibniz:
g'(x)=sin(4x),1raizx-sin(x),12raizx=2sin(4x)-sin(x)2raizx

Resposta

g'(x)=dfrac2sin(4x)-sin(x)2raizx

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