Calcule g^prime(x) onde
g(x)=integralsen x^x^3 d t1+t^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de uma integral com limites variáveis, ou seja, g(x)= integralsin x^x^3 dt1+t^4. O conteúdo aqui é a regra de Leibniz (ou TFC2) combinada com a regra da cadeia.

Passo 2

Para funções do tipo G(x)=integrala(x)^b(x) f(t),dt, a derivada é dada por G'(x)=f(b(x)),b'(x) - f(a(x)),a'(x). Essa é a forma geral da regra de Leibniz.

Passo 3

Vamos identificar a(x)=sin x, b(x)=x^3 e f(t)=1/(1+t^4). Então calculamos separadamente:
Termo superior: f(b(x)),b'(x)=11+(x^3)^4cdot 3x^2=3x^21+x^12.
Termo inferior: f(a(x)),a'(x)=11+sin^4 xcdotcos x=cos x1+sin^4 x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Leibniz, a derivada g'(x) é a diferença entre esses dois termos.

Resposta

g'(x)=3x^21+x^12 - cos x1+sin^4 x

Exercícios relacionados