Calcular a área da região plana limitada pelas curvas: ( 2656 ua ) .

Passo 1

Estamos com a região limitada pelas curvas y = x^2 + 1, y = x - 2 e pelas retas verticais x = 0 e x = 5. O conteúdo é cálculo de área entre duas curvas usando integração definida em relação a x. Vamos precisar identificar qual curva está acima da outra, montar a integral da diferença e calculá-la.

Passo 2

Para saber qual curva fica em cima no intervalo [0,5], igualamos x^2 + 1 = x - 2. Isso leva a x^2 - x + 3 = 0, que não tem raízes reais (discriminante negativo). Então as curvas não se cruzam nessa região. Escolhendo um ponto qualquer em [0,5], por exemplo x=0, vemos que yparábola=1á e yreta=-2. Logo a parábola está sempre acima da reta.

Passo 3

Chamando a parábola de f(x)=x^2+1 (superior) e a reta de g(x)=x-2 (inferior), a área entre elas é dada por
A=integral0^5l[f(x)-g(x)r],dx = integral0^5(x^2+1 - (x-2)),dx = integral0^5(x^2 - x +3),dx

Passo 4

Para calcular essa integral, encontramos uma primitiva de x^2 - x +3:
F(x)=x^33-x^22+3x
Avaliando de 0 a 5:
A=F(5)-F(0)=l(5^33-5^22+3cdot5r)-0 = 1253-252+15 = 2656

Resposta

2656 u.a.

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