24 As retas r1:lx=z y=-3 e r2:lx=-t y=1 z=2-t são paralelas ou concorrentes?
Encontrar uma equação geral do plano que as contém.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço:
r1:,x=z,;y=-3 e
r2:,x=-t,;y=1,;z=2-t.
A tarefa é (1) decidir se elas são paralelas ou concorrentes e (2) achar a equação geral do plano que as contém.
Conteúdo principal: posições relativas de retas em R^3 e determinação de plano via produto vetorial.

Passo 2

Primeiro escrevo r1 em forma paramétrica com parâmetro s. Basta tomar z=s, então
x=s, y=-3, z=s
Logo um ponto em r1 é
A=(0,-3,0)
(para s=0) e o vetor diretor é
vec d1=(1,0,1)

Passo 3

Para r2 já há o parâmetro t:
x=-t, y=1, z=2-t
Um ponto em r2 é
B=(0,1,2)
(para t=0) e o vetor diretor é
vec d2=(-1,0,-1)

Passo 4

Comparo vec d1 e vec d2. Como
vec d2=-1cdotvec d1,
elas são proporcionais, logo as retas são paralelas ou coincidentes. Para ver que não coincidem, noto que em r1 temos y=-3 sempre e em r2 temos y=1, valores distintos. Portanto são retas paralelas distintas.

Passo 5

Agora quero o plano que contém ambas. Dois vetores no plano são vec d1 e o vetor que liga A a B:
AB=B-A=(0,1,2)-(0,-3,0)=(0,4,2)
O vetor normal ao plano é o produto vetorial
vec n=vec d1timesAB =(1,0,1)times(0,4,2) =l(-4,-2,4r)
Para simplificar, escolho
vec n=(2,1,-2)
(dividindo (-4,-2,4) por -2).

Passo 6

A equação geral do plano com normal vec n=(2,1,-2) é
2x+1cdot y-2z+D=0
Para achar D, uso o ponto A=(0,-3,0):
2cdot0+(-3)-2cdot0+D=0 ;Longrightarrow; D=3
Logo a equação geral é
2x+y-2z+3=0

Resposta

As retas são paralelas e o plano que as contém em forma geral é
2x+y-2z+3=0

Exercícios relacionados