24 As retas e são paralelas ou concorrentes?
Encontrar uma equação geral do plano que as contém.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço: r1:,x=z,;y=-3 e r2:,x=-t,;y=1,;z=2-t.
A tarefa é (1) decidir se elas são paralelas ou concorrentes e (2) achar a equação geral do plano que as contém.
Conteúdo principal: posições relativas de retas em R^3 e determinação de plano via produto vetorial.
Passo 2
Primeiro escrevo r1 em forma paramétrica com parâmetro s. Basta tomar z=s, então
x=s, y=-3, z=s
Logo um ponto em r1 é
A=(0,-3,0)
(para s=0) e o vetor diretor é
vec d1=(1,0,1)
Passo 3
Para r2 já há o parâmetro t:
x=-t, y=1, z=2-t
Um ponto em r2 é
B=(0,1,2)
(para t=0) e o vetor diretor é
vec d2=(-1,0,-1)
Passo 4
Comparo vec d1 e vec d2. Como
vec d2=-1cdotvec d1,
elas são proporcionais, logo as retas são paralelas ou coincidentes. Para ver que não coincidem, noto que em r1 temos y=-3 sempre e em r2 temos y=1, valores distintos. Portanto são retas paralelas distintas.
Passo 5
Agora quero o plano que contém ambas. Dois vetores no plano são vec d1 e o vetor que liga A a B: