8-17 Um fio elétrico tem um diâmetro de 3 mm . O fio precisa ser isolado eletricamente do meio usando um isolante elétrico com uma condutibilidade térmica de
. O coeficiente de transferência de calor por convecção é de
.
. A corrente elétrica que o fio pode transportar é limitada pela temperatura que não pode exceder
. A taxa na qual o calor gerado no fio é dissipado para o meio é importante.
Determine a influência da espessura de isolamento, t , sobre a taxa de transferência de calor do fio por unidade de comprimento. O fluido do meio está a uma temperatura de
. Explique a tendência de
vs.
t que você encontrou.
t que você encontrou.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine como a espessura do isolamento,
, afeta a taxa de transferência de calor do fio por unidade de comprimento,
, e que explique a tendência de
em função de
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- diâmetro do fio:
⇒ raio do fio ; - condutividade térmica do isolante:
; - coeficiente de convecção:
; - temperatura máxima do fio (superfície interna do isolante):
; - temperatura do fluido ambiente:
; - temperatura diferencial de interesse:
.
O que se pede: expressão de
em função de
e explicação da tendência de
quando variamos
.
(Observação: a superfície externa do isolante tem raio .)
(Observação: a superfície externa do isolante tem raio
Passo 2
Derivando a resistência térmica por condução radial em um cilindro (aula curta):
Considere condução radial em regime permanente através do isolante entre (superfície do fio) e
(superfície externa do isolante). A lei de Fourier em coordenadas cilíndricas, para fluxo por comprimento unitário
, leva a:
Considere condução radial em regime permanente através do isolante entre
Integramos de
a
e de
a
(onde
é a temperatura na superfície externa do isolante) e obtemos a expressão conhecida:
Reescrevendo como resistência térmica por unidade de comprimento, definimos a resistência de condução radial
Explicação didática: essa fórmula é obtida ao integrar
e usar que
. A resistência cresce com
: quanto mais espesso o isolante, maior a resistência à condução.
Passo 3
Resistência por convecção na superfície externa (aula curta):
A convecção na superfície externa fornece
A convecção na superfície externa fornece
Assim a resistência convectiva por unidade de comprimento é
Explicação: a área de troca por unidade de comprimento é
. Quanto maior
, maior a área e menor a resistência convectiva.
Passo 4
As resistências estão em série (condução através do isolante seguida de convecção à superfície). A resistência total por unidade de comprimento é
Portanto a taxa de calor por unidade de comprimento é
Aqui cada símbolo significa:
-
: calor dissipado por unidade de comprimento (W/m); -
: temperatura da superfície interna (fio), : temperatura do fluido; -
: condutividade do isolante; : coeficiente de convecção; -
: raio do fio; : raio externo do isolante ( ).
Passo 5
Análise qualitativa da dependência com
(intuição física + cálculo):
- Quando
é muito pequeno ( ), a resistência de condução e a resistência dominante é a convectiva . Assim vale aproximadamente . - Ao aumentar um pouco
, aumenta: isso aumenta a área de convecção (reduz ) mas também aumenta um pouco . No regime inicial a redução de costuma vencer, então pode aumentar quando se adiciona uma pequena camada de isolante. - Para camadas muito espessas,
cresce e a resistência de condução domina; então decresce com e tende a zero quando .
Podemos encontrar o ponto extremo (onde
é máximo) calculando quando a resistência total
é mínima. Derivando
em relação a
e igualando a zero:
⇒
Esse
torna
mínimo, portanto
máximo. A espessura ótima correspondente é
desde que
(caso contrário o máximo físico seria em
).
Intuição: existe um balanço entre aumentar a área de superfície (favorece convecção) e aumentar a resistência do isolante (prejudica condução). Onde esses efeitos se equilibram aparece um máximo de dissipação.
Passo 6
Cálculo numérico com os valores dados:
-
. -
.
Logo
Esse é o valor de
que maximiza
. Agora alguns valores de
:
- Para
(sem isolante, ):
- Para
( ):
- Para
( ), apenas para ver a queda:
Limites:
começa em
em
, aumenta até
em
e depois decresce conforme
cresce muito.
Passo 7
Interpretação prática e mensagem final (amigável):
- Resultado contraintuitivo: adicionar um pouco de isolamento pode aumentar a dissipação de calor porque amplia a área externa de troca com o fluido (melhora a convecção) e a resistência extra de condução ainda é pequena.
- Porém, se você continuar aumentando a espessura, a resistência do isolante passa a dominar e a dissipação cai. Existe então uma espessura ótima
que maximiza a dissipação, dada por (aqui positiva e igual a ). - Em termos práticos, para controlar a temperatura do fio (não exceder
), você pode ajustar o isolamento — mas atenção: normalmente o objetivo do isolamento é elétrico; termicamente pode haver esse efeito não óbvio. Força aí nos estudos — você já entendeu o porquê da curva subir e depois cair!