8-17 Um fio elétrico tem um diâmetro de 3 mm . O fio precisa ser isolado eletricamente do meio usando um isolante elétrico com uma condutibilidade térmica de 0,09 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor por convecção é de 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. { }^{\circ} \mathrm{C}. A corrente elétrica que o fio pode transportar é limitada pela temperatura que não pode exceder 150^{\circ} \mathrm{C}. A taxa na qual o calor gerado no fio é dissipado para o meio é importante.
Determine a influência da espessura de isolamento, t , sobre a taxa de transferência de calor do fio por unidade de comprimento. O fluido do meio está a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. Explique a tendência de \dot{Q} / L vs.
t que você encontrou.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine como a espessura do isolamento, t, afeta a taxa de transferência de calor do fio por unidade de comprimento, \dot{Q}/L, e que explique a tendência de \dot{Q}/L em função de t.
Dados fornecidos:
  • diâmetro do fio: 3\\ \mathrm{mm} ⇒ raio do fio r_1=\dfrac{3\\ \mathrm{mm}}{2}=1{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0015\\ \mathrm{m};
  • condutividade térmica do isolante: k=0{,}09\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C});
  • coeficiente de convecção: h=20\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C});
  • temperatura máxima do fio (superfície interna do isolante): T_{1}=150^\circ\mathrm{C};
  • temperatura do fluido ambiente: T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C};
  • temperatura diferencial de interesse: \Delta T = T_{1}-T_{\infty}=120^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: expressão de \dot{Q}/L em função de t e explicação da tendência de \dot{Q}/L quando variamos t.
(Observação: a superfície externa do isolante tem raio r_2=r_1+t.)

Passo 2

Derivando a resistência térmica por condução radial em um cilindro (aula curta):
Considere condução radial em regime permanente através do isolante entre r=r_1 (superfície do fio) e r=r_2 (superfície externa do isolante). A lei de Fourier em coordenadas cilíndricas, para fluxo por comprimento unitário q'=\dot{Q}/L, leva a:
q' = -k(2\pi r)\frac{dT}{dr}.
Integramos de r_1 a r_2 e de T_1 a T_2 (onde T_2 é a temperatura na superfície externa do isolante) e obtemos a expressão conhecida:
q' = \frac{2\pi k\,(T_1-T_2)}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}.
Reescrevendo como resistência térmica por unidade de comprimento, definimos a resistência de condução radial
R_{\text{cond}}'=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k}.
Explicação didática: essa fórmula é obtida ao integrar dT = -\dfrac{q'}{2\pi k}\dfrac{dr}{r} e usar que \int_{r_1}^{r_2}\dfrac{dr}{r}=\ln(r_2/r_1). A resistência cresce com \ln(r_2/r_1): quanto mais espesso o isolante, maior a resistência à condução.

Passo 3

Resistência por convecção na superfície externa (aula curta):
A convecção na superfície externa fornece
q' = h\,(2\pi r_2)\,(T_2-T_{\infty}).
Assim a resistência convectiva por unidade de comprimento é
R_{\text{conv}}'=\frac{1}{h\,2\pi r_2}.
Explicação: a área de troca por unidade de comprimento é 2\pi r_2. Quanto maior r_2, maior a área e menor a resistência convectiva.

Passo 4

As resistências estão em série (condução através do isolante seguida de convecção à superfície). A resistência total por unidade de comprimento é
R_{\text{tot}}'(r_2)=R_{\text{cond}}'+R_{\text{conv}}'=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k}+\frac{1}{2\pi h r_2}.
Portanto a taxa de calor por unidade de comprimento é
\boxed{\displaystyle \frac{\dot{Q}}{L}=\frac{T_1-T_{\infty}}{\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k}+\dfrac{1}{2\pi h r_2}},\qquad r_2=r_1+t.}
Aqui cada símbolo significa:
  • \dot{Q}/L: calor dissipado por unidade de comprimento (W/m);
  • T_1: temperatura da superfície interna (fio), T_\infty: temperatura do fluido;
  • k: condutividade do isolante; h: coeficiente de convecção;
  • r_1: raio do fio; r_2: raio externo do isolante ( =r_1+t).

Passo 5

Análise qualitativa da dependência com t (intuição física + cálculo):
  • Quando t é muito pequeno ( r_2\approx r_1), a resistência de condução \;R_{\text{cond}}'\approx0 e a resistência dominante é a convectiva \;R_{\text{conv}}'=\dfrac{1}{2\pi h r_1}. Assim \dot{Q}/L vale aproximadamente 2\pi r_1 h\,(T_1-T_\infty).
  • Ao aumentar um pouco t, r_2 aumenta: isso aumenta a área de convecção (reduz R_{\text{conv}}') mas também aumenta um pouco R_{\text{cond}}'. No regime inicial a redução de R_{\text{conv}}' costuma vencer, então \dot{Q}/L pode aumentar quando se adiciona uma pequena camada de isolante.
  • Para camadas muito espessas, \ln(r_2/r_1) cresce e a resistência de condução domina; então \dot{Q}/L decresce com t e tende a zero quando t\to\infty.
Podemos encontrar o ponto extremo (onde \dot{Q}/L é máximo) calculando quando a resistência total R_{\text{tot}}' é mínima. Derivando R_{\text{tot}}' em relação a r_2 e igualando a zero:
\frac{dR_{\text{tot}}'}{dr_2}=\frac{1}{2\pi}\!\left(\frac{1}{k r_2}-\frac{1}{h r_2^{2}}\right)=0
\frac{1}{k r_2}=\frac{1}{h r_2^{2}}\quad\Rightarrow\quad r_2^*=\frac{k}{h}.
Esse r_2^* torna R_{\text{tot}}' mínimo, portanto \dot{Q}/L máximo. A espessura ótima correspondente é
t^*=r_2^*-r_1=\frac{k}{h}-r_1,
desde que \dfrac{k}{h}>r_1 (caso contrário o máximo físico seria em t=0).
Intuição: existe um balanço entre aumentar a área de superfície (favorece convecção) e aumentar a resistência do isolante (prejudica condução). Onde esses efeitos se equilibram aparece um máximo de dissipação.

Passo 6

Cálculo numérico com os valores dados:
  • r_1=0{,}0015\\ \mathrm{m}.
  • k/h = \dfrac{0{,}09}{20}=0{,}0045\\ \mathrm{m}=4{,}5\\ \mathrm{mm}.
    Logo
t^*=r_2^*-r_1=0{,}0045-0{,}0015=0{,}0030\\ \mathrm{m}=3{,}0\\ \mathrm{mm}.
Esse é o valor de t que maximiza \dot{Q}/L. Agora alguns valores de \dot{Q}/L:
  1. Para t=0 (sem isolante, r_2=r_1):
R_{\text{cond}}'=0,\qquad R_{\text{conv}}'=\frac{1}{2\pi h r_1}=\frac{1}{2\pi\cdot 20\cdot 0{,}0015}\approx 5{,}3052\\ \frac{^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{W}/\mathrm{m}}.
\frac{\dot{Q}}{L}=\frac{120}{5{,}3052}\approx 22{,}62\\ \mathrm{W/m}.
  1. Para t=t^*=0{,}0030\\ \mathrm{m} ( r_2=0{,}0045\\ \mathrm{m}):
R_{\text{tot}}'=\frac{\ln(3)}{2\pi k}+\frac{1}{2\pi h r_2}\approx 3{,}7099\\ \frac{^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{W}/\mathrm{m}},
\frac{\dot{Q}}{L}=\frac{120}{3{,}7099}\approx 32{,}35\\ \mathrm{W/m}\quad(\text{máximo}).á
  1. Para t=10\\ \mathrm{mm} ( r_2=0{,}0115\\ \mathrm{m}), apenas para ver a queda:
\frac{\dot{Q}}{L}\approx 27{,}95\\ \mathrm{W/m}.
Limites: \dot{Q}/L começa em \approx 22{,}6\\ \mathrm{W/m} em t=0, aumenta até \approx 32{,}35\\ \mathrm{W/m} em t\approx 3{,}0\\ \mathrm{mm} e depois decresce conforme t cresce muito.

Passo 7

Interpretação prática e mensagem final (amigável):
  • Resultado contraintuitivo: adicionar um pouco de isolamento pode aumentar a dissipação de calor porque amplia a área externa de troca com o fluido (melhora a convecção) e a resistência extra de condução ainda é pequena.
  • Porém, se você continuar aumentando a espessura, a resistência do isolante passa a dominar e a dissipação cai. Existe então uma espessura ótima t^* que maximiza a dissipação, dada por t^*=\dfrac{k}{h}-r_1 (aqui positiva e igual a 3{,}0\\ \mathrm{mm}).
  • Em termos práticos, para controlar a temperatura do fio (não exceder 150^\circ\mathrm{C}), você pode ajustar o isolamento — mas atenção: normalmente o objetivo do isolamento é elétrico; termicamente pode haver esse efeito não óbvio. Força aí nos estudos — você já entendeu o porquê da curva subir e depois cair!

Resposta

\displaystyle \frac{\dot{Q}}{L}=\frac{T_1-T_{\infty}}{\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_1+t}{r_1}\right)}{2\pi k}+\dfrac{1}{2\pi h (r_1+t)}}, com r_1=0{,}0015\\ \mathrm{m}.
t^*=\dfrac{k}{h}-r_1=0{,}0030\\ \mathrm{m}=3{,}0\\ \mathrm{mm} (espessura que maximiza \dot{Q}/L).
\displaystyle \left(\frac{\dot{Q}}{L}\right)_{\max}\approx 32{,}35\\ \mathrm{W/m}.

Exercícios relacionados