1. integral duplaR e^x-y d A, R: 0 <= x <= ln 2, 0 <= y <= ln 2
  2. integral duplaR x y e^x y^2 d A, R: 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1
  3. integral duplaR x y^3x^2+1 d A, R: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2
  4. integral duplaR yx^2 y^2+1 d A, R: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1
A=integrala^b 12 r^2 d theta
Área
1-4 Determine a área da região que é delimitada pela curva fornecida e está localizada no setor especificado.
  1. r=raiz2 theta, 0 <= theta <= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a área da região delimitada pela curva no intervalo de . Isso está no conteúdo de Cálculo em Coordenadas Polares, e vamos precisar usar a fórmula da área em coordenadas polares para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área A = 12 integrala^b r^2 , dtheta de uma região delimitada por uma curva de até é dada por:
Essa fórmula vem do fato de que em coordenadas polares, um pequeno setor de área é aproximadamente .

Passo 3

No nosso caso, a curva é A = 12 integral0^pi2 (raiz2theta)^2 , dtheta , então vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
(raiz2theta)^2 = 2theta
Então, agora a integral fica:
A = 12 integral0^pi2 2theta , dtheta

Passo 5

Observamos que o 2 dentro da integral e o A = integral0^pi2 theta , dtheta fora se cancelam:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral de integral theta , dtheta = 12 theta^2 + C em relação a :
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui.

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a A = [ 12 theta^2 ]0^pi2 = 12 ( (pi2)^2 - 0^2 ) = 12 cdot pi^24 = pi^28 :

Resposta

A área da região delimitada pela curva no intervalo é .

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