Se
tem uma primeira derivada contínua para
e se o ponto
traça a curva
exatamente uma vez conforme
vai de
a
, então o comprimento da curva é:
Encontrando comprimentos de curvas polares
Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 21-28.
21. A espiral
.
21. A espiral
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 21 que pede para encontrar o comprimento da curva da espiral definida por
no intervalo
.
Aqui, estamos lidando com comprimento de curvas em coordenadas polares. Para calcular isso, vamos usar a fórmula:
No nosso caso,
,
e
. Vamos precisar calcular
e então integrar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Então, temos
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na fórmula do comprimento da curva:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, agora a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição:
Seja
, então:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Voltando para
:
Passo 7
Vamos calcular os limites da integral:
Para
(raiz5)^2 + 4 = 5 + 4 = 9 Rightarrow 9^3/2 = 27 :
Para
L = 13 (27 - 8) = 193 :
Então:
Resposta
O comprimento da curva da espiral
no intervalo
é
unidades.