Encontre a forma diagonal das TLs na base canônica representadas pelas seguintes matrizes:
llll1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz A de dimensão 4, ou seja, encontrar uma base de autovetores de A e escrever a forma diagonal. O conteúdo é diagonalização de matrizes: vamos precisar calcular o polinômio característico, achar autovalores e depois autovetores.

Passo 2

Para achar o polinômio característico, notamos que A é bloco-diagonal com dois blocos: um 2times2 identidade e um 2times2 com zeros na diagonal e 1 nas posições (3,4) e (4,3). Assim,
det(A-lambda I)= (1-lambda)^2 det-lambda & 1 1 & -lambda = (1-lambda)^2(lambda^2-1)

Passo 3

Igualando a zero,
(1-lambda)^2(lambda-1)(lambda+1)=0, vemos que os autovalores são lambda1=1 (multiplicidade algébrica 3) e lambda2=-1 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 4

Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0. As equações dão x4=x3 e não impõem restrições em x1,x2. Uma base de autovetores associados a 1 é
$$v_1=(1,0,0,0),\quad v_2=(0,1,0,0),\quad v_3=(0,0,1,1).
$$

Passo 5

Para lambda=-1, resolvemos (A+I)v=0. As equações dão x1=x2=0 e x4=-x3. Um autovetor é
$$v_4=(0,0,1,-1).
$$

Passo 6

Como encontramos 4 autovetores linearmente independentes, A é diagonalizável e sua forma diagonal na base (v1,v2,v3,v4) é uma matriz diagonal com as entradas 1,1,1,-1.

Resposta

1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1

Exercícios relacionados