Encontre a forma diagonal das TLs na base canônica representadas pelas seguintes matrizes:
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a matriz A de dimensão 4, ou seja, encontrar uma base de autovetores de A e escrever a forma diagonal. O conteúdo é diagonalização de matrizes: vamos precisar calcular o polinômio característico, achar autovalores e depois autovetores.
Passo 2
Para achar o polinômio característico, notamos que A é bloco-diagonal com dois blocos: um 2times2 identidade e um 2times2 com zeros na diagonal e 1 nas posições (3,4) e (4,3). Assim,
Para lambda=-1, resolvemos (A+I)v=0. As equações dão x1=x2=0 e x4=-x3. Um autovetor é
$$v_4=(0,0,1,-1).
$$
Passo 6
Como encontramos 4 autovetores linearmente independentes, A é diagonalizável e sua forma diagonal na base (v1,v2,v3,v4) é uma matriz diagonal com as entradas 1,1,1,-1.