Ache uma base e a dimensão do espaço de soluções de cada um dos sistemas lineares abaixo em
:
Passo 1
O exercício pede para achar uma base e a dimensão do espaço de soluções do sistema homogêneo em
. O conteúdo envolve resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss e parametrização das variáveis livres.
Passo 2
Montamos a matriz de coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss. A matriz inicial é
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda, obtemos
Isso corresponde às equações
Passo 3
Das equações escalonadas vemos que
e
são variáveis livres. Vamos expressar
e
em função de
e
.
Da segunda equação temos
Da segunda equação temos
Substituindo na primeira:
Passo 4
Definindo os parâmetros
e
, o vetor solução fica
Multiplicando cada vetor por 2 para evitar frações, obtemos a base
Passo 5
O número de variáveis livres é 2, logo a dimensão do espaço solução é 2.
Resposta
Uma base do espaço solução é
e sua dimensão é 2.