Ache uma base e a dimensão do espaço de soluções de cada um dos sistemas lineares abaixo em R^n :
& x1-x2-x3+2 x4=0 & 2 x1+3 x3-x4=0

Passo 1

O exercício pede para achar uma base e a dimensão do espaço de soluções do sistema homogêneo em R^4. O conteúdo envolve resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss e parametrização das variáveis livres.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss. A matriz inicial é
1 & -1 & -1 & 2 2 & 0 & 3 & -1
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda, obtemos
1 & -1 & -1 & 2 0 & 2 & 5 & -5
Isso corresponde às equações
x1 - x2 - x3 + 2x4 = 0,
2x2 + 5x3 - 5x4 = 0

Passo 3

Das equações escalonadas vemos que x3 e x4 são variáveis livres. Vamos expressar x2 e x1 em função de x3 e x4.
Da segunda equação temos
x2 = -5x3 + 5x42
Substituindo na primeira:
x1 = x2 + x3 - 2x4 = -5x3 + 5x42 + x3 - 2x4 = -3x3 + x42

Passo 4

Definindo os parâmetros x3 = s e x4 = t, o vetor solução fica
(x1,x2,x3,x4) = sl(-tfrac32,-tfrac52,1,0r) + tl(tfrac12,tfrac52,0,1r)
Multiplicando cada vetor por 2 para evitar frações, obtemos a base
(-3,-5,2,0),;(1,5,0,2)

Passo 5

O número de variáveis livres é 2, logo a dimensão do espaço solução é 2.

Resposta

Uma base do espaço solução é (-3,-5,2,0),;(1,5,0,2) e sua dimensão é 2.

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