Para cada um dos subconjuntos
abaixo, determine uma base
e a dimensão do subespaço
gerado por
:
Passo 1
Temos o conjunto X={u₁,u₂} em
com u₁=(1,2,−1) e u₂=(2015,4030,−2015). Precisamos achar uma base B⊂X para o subespaço S(X) e calcular
. O tópico aqui é subespaço gerado, independência linear, base e dimensão.
Passo 2
Para verificar independência, buscamos escalar c tal que u₂ = c·u₁. Observando as coordenadas: 2015 = c·1, 4030 = c·2, −2015 = c·(−1). Essas igualdades são satisfeitas por c=2015, logo u₂ = 2015·u₁. Isso mostra que u₁ e u₂ são linearmente dependentes.
Passo 3
Como u₂ é múltiplo de u₁, basta um único vetor para gerar S(X). Podemos escolher B={u₁}. Esse conjunto é independente (não há combinação não trivial que zere u₁) e gera a mesma reta que X.
Passo 4
A dimensão de S(X) é o número de vetores em qualquer base de S(X). Como escolhemos B com um vetor,
.
Resposta
Uma base é
e a dimensão do subespaço gerado é
.