Para cada um dos subconjuntos B subset X abaixo, determine uma base S(X) e a dimensão do subespaço X gerado por E=R^3, n=2, u1=(1,2,-1), u2=(2015,4030,-2015) :

Passo 1

Temos o conjunto X={u₁,u₂} em R^3 com u₁=(1,2,−1) e u₂=(2015,4030,−2015). Precisamos achar uma base B⊂X para o subespaço S(X) e calcular dim S(X). O tópico aqui é subespaço gerado, independência linear, base e dimensão.

Passo 2

Para verificar independência, buscamos escalar c tal que u₂ = c·u₁. Observando as coordenadas: 2015 = c·1, 4030 = c·2, −2015 = c·(−1). Essas igualdades são satisfeitas por c=2015, logo u₂ = 2015·u₁. Isso mostra que u₁ e u₂ são linearmente dependentes.

Passo 3

Como u₂ é múltiplo de u₁, basta um único vetor para gerar S(X). Podemos escolher B={u₁}. Esse conjunto é independente (não há combinação não trivial que zere u₁) e gera a mesma reta que X.

Passo 4

A dimensão de S(X) é o número de vetores em qualquer base de S(X). Como escolhemos B com um vetor, dim S(X)=1.

Resposta

Uma base é B=u1 e a dimensão do subespaço gerado é dim S(X)=1.

Exercícios relacionados