Asserção: A integral definida integral0^1 x cdot cos (x) d x é igual a 0 .
Razão: A técnica de integração por partes aplicada a essa integral resulta em 0, porque as contribuições de sen(1) e cos(1) se cancelam no intervalo de integração.
Escolha uma opção:
  • a. Asserção verdadeira, Razāo verdadeira, e Razão não é uma explicação correta da Asserção.
  • b. Asserçāo verdadeira, Razāo falsa.
  • c. Asserção falsa, Razāo verdadeira.
  • d. Asserção verdadeira, Razāo verdadeira, e Razāo é uma explicação correta da Asserção.
  • e. Asserção falsa, Razão falsa

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma afirmação (Asserção) de que a integral definida de x cdot cos(x) de 0 a 1 é igual a 0. A razão apresentada diz que, ao aplicar a técnica de integração por partes, as contribuições de sin(1) e cos(1) se cancelam, resultando em 0. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a técnica de integração por partes e saber como aplicá-la a integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral integral0^1 x cdot cos(x) , dx . Para isso, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv . Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples ao derivar e dv como a parte restante.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sin(x)
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^1 x cdot cos(x) , dx = [ x cdot sin(x) ]0^1 - integral0^1 sin(x) cdot dx

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. [ x cdot sin(x) ]0^1 :
1 cdot sin(1) - 0 cdot sin(0) = sin(1) - 0 = sin(1)
  1. integral0^1 sin(x) , dx :
- cos(x) |0^1 = -cos(1) + cos(0) = -cos(1) + 1
Então, juntando tudo:
integral0^1 x cdot cos(x) , dx = sin(1) - (-cos(1) + 1) = sin(1) + cos(1) - 1

Passo 5

Agora, vamos avaliar se esse resultado é igual a 0:
sin(1) + cos(1) - 1 approx 0.8415 + 0.5403 - 1 = 0.3818 neq 0
Portanto, a asserção de que a integral é igual a 0 é falsa.

Passo 6

Além disso, a razão apresentada afirma que a técnica de integração por partes resulta em 0 porque as contribuições de sin(1) e cos(1) se cancelam. No entanto, como vimos, elas não se cancelam completamente, restando sin(1) + cos(1) - 1 . Portanto, a razão também é falsa.

Resposta

e. Asserção falsa, Razão falsa.

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