[17 pts] Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de
na região
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
na região fechada e limitada
Como
é compacto e
é contínua, esses extremos ocorrem ou em pontos críticos interiores (onde
) ou na fronteira
. Vamos primeiro achar os críticos interiores e depois estudar a fronteira.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Para pontos críticos interiores resolvemos
de onde
Esse ponto
pertence a
pois
.
Passo 3
Para ver se
é mínimo ou máximo local, olhamos a matriz Hessiana em qualquer ponto:
que é positiva definida (
e
). Logo
é um mínimo local. O valor de
ali é
Passo 4
Agora restringimos
à fronteira
. Como
, temos
Definimos então
com
.
Passo 5
Para achar extremos de
no intervalo fechad,o derivamos:
resolvendo
dá
, que está em
. Avaliamos também nos extremos
e
:
Então no interior da fronteira
atinge máximo
em
e os mínimos de fronteira são
em
(o outro valor
é maior).
Como
, para
temos
, e para
temos
.
Passo 6
Comparamos os valores:
- Mínimo interior:
. - Mínimos na fronteira:
. - Máximos na fronteira:
.
O menor valor é
em
e o maior é
nos pontos
.
Resposta
O mínimo absoluto é
em
.
O máximo absoluto é
O máximo absoluto é
nos pontos
e
.