[17 pts] Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de f(x, y)=3 x^{2}+2 y^{2}-4 y+3 na região D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 9\right\}

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y)=3x^{2}+2y^{2}-4y+3
na região fechada e limitada
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le9\}.
Como D é compacto e f é contínua, esses extremos ocorrem ou em pontos críticos interiores (onde \nabla f=0) ou na fronteira x^{2}+y^{2}=9. Vamos primeiro achar os críticos interiores e depois estudar a fronteira.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=6x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4y-4.
Para pontos críticos interiores resolvemos
6x=0,\quad 4y-4=0
de onde
x=0,\quad y=1.
Esse ponto (0,1) pertence a D pois 0^{2}+1^{2}=1\le9.

Passo 3

Para ver se (0,1) é mínimo ou máximo local, olhamos a matriz Hessiana em qualquer ponto:
H=\begin{pmatrix}6&0\\\ 0&4\end{pmatrix},
que é positiva definida ( 6>0 e 4>0). Logo (0,1) é um mínimo local. O valor de f ali é
f(0,1)=3\cdot0^{2}+2\cdot1^{2}-4\cdot1+3=1.

Passo 4

Agora restringimos f à fronteira x^{2}+y^{2}=9. Como x^{2}=9-y^{2}, temos
f(x,y)=3(9-y^{2})+2y^{2}-4y+3 =30 -y^{2}-4y.
Definimos então
g(y)=30 -y^{2}-4y
com y\in[-3,3].

Passo 5

Para achar extremos de g no intervalo fechad,o derivamos:
g'(y)=-2y-4,
resolvendo g'(y)=0 y=-2, que está em [-3,3]. Avaliamos também nos extremos y=-3 e y=3:
g(-2)=30-(-2)^{2}-4(-2)=30-4+8=34,
g(3)=30-9-12=9,
g(-3)=30-9+12=33.
Então no interior da fronteira g atinge máximo 34 em y=-2 e os mínimos de fronteira são 9 em y=3 (o outro valor 33 é maior).
Como x^{2}=9-y^{2}, para y=-2 temos x=\pm\sqrt{5}, e para y=3 temos x=0.

Passo 6

Comparamos os valores:
  • Mínimo interior: f(0,1)=1.
  • Mínimos na fronteira: f(0,3)=9.
  • Máximos na fronteira: f(\pm\sqrt{5},-2)=34.
O menor valor é 1 em (0,1) e o maior é 34 nos pontos \bigl(\pm\sqrt{5},-2\bigr).

Resposta

O mínimo absoluto é
f(0,1)=1
em (0,1).
O máximo absoluto é
f\bigl(\pm\sqrt{5},-2\bigr)=34
nos pontos \bigl(\sqrt{5},-2\bigr) e \bigl(-\sqrt{5},-2\bigr).

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