[17 pts] Determine os pontos de sela, máximo e mínimo locais de f(x, y)=4 x^{2} y+3 y^{3}-36 y.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=4x^{2}y+3y^{3}-36y
e pede todos os pontos críticos, classificando-os em ponto de sela, máximo local ou mínimo local. Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e o teste da matriz Hessiana (segunda derivada) para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=8xy, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4x^{2}+9y^{2}-36.
Os pontos críticos satisfazem
8xy=0, \quad 4x^{2}+9y^{2}-36=0.

Passo 3

Da equação 8xy=0 vem x=0 ou y=0.
  • Se x=0, então 9y^{2}=36, logo y=\pm2. Resultado: (0,2) e (0,-2).
  • Se y=0, então 4x^{2}=36, logo x=\pm3. Resultado: (3,0) e (-3,0).
Assim, os pontos críticos são
(0,2), (0,-2), (3,0) e (-3,0).

Passo 4

Para classificar cada ponto usamos as segundas derivadas e o discriminante da Hessiana. Calculamos
f_{xx}=8y, \quad f_{xy}=8x, \quad f_{yy}=18y.
O discriminante é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
O critério de classificação em \mathbb{R}^{2} é:
  • Se D>0 e f_{xx}>0, temos mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, temos máximo local.
  • Se D<0, temos ponto de sela.

Passo 5

Avaliamo​s f_{xx}, f_{xy}, f_{yy} e D em cada ponto:
  1. Em (0,2):
    f_{xx}=8\cdot2=16,
    f_{xy}=8\cdot0=0,
    f_{yy}=18\cdot2=36,
    D = 16\cdot36 - 0^{2} = 576 >0,
    e f_{xx}=16>0. Logo, mínimo local.
  2. Em (0,-2):
    f_{xx}=8\cdot(-2)=-16,
    f_{xy}=0,
    f_{yy}=18\cdot(-2)=-36,
    D = (-16)\cdot(-36) - 0 = 576 >0,
    e f_{xx}=-16<0. Logo, máximo local.
  3. Em (3,0):
    f_{xx}=0,
    f_{xy}=8\cdot3=24,
    f_{yy}=0,
    D = 0\cdot0 - 24^{2} = -576 <0,
    ponto de sela.
  4. Em (-3,0):
    f_{xx}=0,
    f_{xy}=8\cdot(-3)=-24,
    f_{yy}=0,
    D = 0\cdot0 - (-24)^{2} = -576 <0,
    ponto de sela.

Resposta

Pontos de mínimo local: (0,2)
Ponto de máximo local: (0,-2)
Pontos de sela: (3,0) e (-3,0)

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