[17 pts] Determine os pontos de sela, máximo e mínimo locais de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede todos os pontos críticos, classificando-os em ponto de sela, máximo local ou mínimo local. Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e o teste da matriz Hessiana (segunda derivada) para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Os pontos críticos satisfazem
Passo 3
Da equação
vem
ou
.
- Se
, então , logo . Resultado: e . - Se
, então , logo . Resultado: e .
Assim, os pontos críticos são
,
,
e
.
Passo 4
Para classificar cada ponto usamos as segundas derivadas e o discriminante da Hessiana. Calculamos
O discriminante é
O critério de classificação em
é:
- Se
e , temos mínimo local. - Se
e , temos máximo local. - Se
, temos ponto de sela.
Passo 5
Avaliamos
,
,
e
em cada ponto:
-
Em
:
,
,
, e. Logo, mínimo local. -
Em
:
,
,
, e. Logo, máximo local. -
Em
:
,
,
, ponto de sela. -
Em
:
,
,
, ponto de sela.
Resposta
Pontos de mínimo local:
Ponto de máximo local:
Pontos de sela: e
Ponto de máximo local:
Pontos de sela: