[17 pts] Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{8 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ K & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right..
Determine a constante K de modo que f seja contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
Dica: Investigue a continuidade de f no ponto ( 0,0 ) (possivelmente utilizando coordenadas polares para mostrar a existência do limite) e a continuidade em (x, y) \neq(0,0), respondendo então à pergunta e mostrando o seu trabalho.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{8x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] K,& (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o valor de K para que f seja contínua em todo \mathbb{R}^2. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis: usamos que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador é não nulo, e investigamos a continuidade em (0,0) calculando
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{8x^2y}{x^2+y^2}.
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Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) temos x^2+y^2>0, logo a função
(x,y)\mapsto \frac{8x^2y}{x^2+y^2}
é quociente de polinômios com denominador não nulo, portanto contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Para examinar \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{8x^2y}{x^2+y^2} usamos coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad r\ge0.
Então
\frac{8x^2y}{x^2+y^2} =\frac{8\bigl(r\cos\theta\bigr)^2\bigl(r\sin\theta\bigr)}{r^2} =8r\cos^2\theta\,\sin\theta.
Como \bigl|\cos^2\theta\,\sin\theta\bigr|\le1, segue que
\left|8r\cos^2\theta\,\sin\theta\right|\le 8r
e, ao levar r\to0, o produto 8r tende a 0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{8x^2y}{x^2+y^2}=0.

Passo 4

Para que f seja contínua em (0,0), é necessário e suficiente que
K=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{8x^2y}{x^2+y^2}=0.

Resposta

K=0

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