[17 pts] Seja u(x, t)=(\omega t-k x)^{4}, onde k e \omega são constantes tais que k=\omega / c é o chamado número de onda, \omega>0 é a freqüência angular e c é a velocidade da luz. Mostre que u(x, t) satisfaz
\frac{\partial u}{\partial t}+c \frac{\partial u}{\partial x}=0 . \quad \text { (equação da onda unidirecional) }çã

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
u(x,t) = (\omega t - k x)^4,
com k=\omega/c, satisfaz a equação da onda unidirecional
\frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = 0.
Para isso vamos aplicar a regra da cadeia em derivadas parciais.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}. Seja z = \omega t - k x. Então
\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{d}{dz}(z^4)\,\frac{\partial z}{\partial t} = 4z^3 \cdot \omega = 4\omega(\omega t - k x)^3.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}. De modo análogo,
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{d}{dz}(z^4)\,\frac{\partial z}{\partial x} = 4z^3 \cdot (-k) = -4k(\omega t - k x)^3.

Passo 4

Substituir em \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x}:
\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 4(\omega t - k x)^3\bigl(\omega - c\,k\bigr).
Como k=\omega/c, temos c\,k=\omega, logo \omega - c\,k=0 e
\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0.

Resposta

A função u(x,t)=(\omega t - k x)^4 satisfaz
\frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = 0.

Exercícios relacionados