Verifique se f é contínua e derivável no ponto x_{0}, sendo:
f(x)=|\operatorname{sen} x|, x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar continuidade e derivabilidade da função
f(x)=|\sin x|
no ponto x_{0}=0. Vamos usar definições de limite para continuidade e derivadas laterais para checar a derivabilidade.

Passo 2

Para mostrar continuidade em 0, calculamos
\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}|\sin x|.
Como \sin x é contínua, vale
\lim_{x\to0}|\sin x| = \bigl|\lim_{x\to0}\sin x\bigr| = |0| = 0.
E
f(0)=|\sin0|=0.
Portanto
\lim_{x\to0}f(x)=f(0),
logo f é contínua em x_{0}=0.

Passo 3

Para estudar a derivabilidade, note que perto de zero a função pode ser escrita em forma piecewise, pois \sin x muda de sinal em 0:
f(x)= \begin{cases} \sin x, & x\ge0,\\\\ -\sin x, & x<0. \end{cases}

Passo 4

Calculamos as derivadas laterais em 0.
Derivada pela direita:
f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{\sin h-0}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{\sin h}{h} =1.
Derivada pela esquerda:
f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{-\sin h-0}{h} =-\lim_{h\to0^-}\frac{\sin h}{h} =-1.

Passo 5

Como f'_+(0)=1 e f'_-(0)=-1 são diferentes, a derivada não existe em 0.

Resposta

f é contínua em x_{0}=0 e não é derivável em x_{0}=0.

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