Verifique se f é contínua e derivável no ponto x_{0}, sendo:
f(x)=\left|\operatorname{sen}\left(x^{5}\right)\right|, x_{0}=0

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\bigl|\sin(x^{5})\bigr|
e pede para verificar se f é contínua e derivável em x_{0}=0.
O conteúdo envolvido é continuidade e derivabilidade em um ponto, usando limite de função e definição de derivada via quociente de diferenças.

Passo 2

Para verificar continuidade em x_{0}=0, calculamos
\lim_{x\to0}f(x) =\lim_{x\to0}\bigl|\sin(x^{5})\bigr| =\bigl|\sin(0^{5})\bigr| =\bigl|\sin(0)\bigr| =0.
Como f(0)=\bigl|\sin(0^{5})\bigr|=0, temos
\lim_{x\to0}f(x)=f(0),
logo f é contínua em x_{0}=0.

Passo 3

Para verificar derivabilidade em x_{0}=0, usamos a definição
f'(0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\bigl|\sin(h^{5})\bigr|-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\bigl|\sin(h^{5})\bigr|}{h}.
Sabemos que \sin(u)\sim u quando u\to0, isto é,
\displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u}=1.
Para u=h^{5} vem
\bigl|\sin(h^{5})\bigr| =\bigl|h^{5}\bigr|\;\biggl|\frac{\sin(h^{5})}{h^{5}}\biggr| \sim|h|^{5}\cdot1.
Então
\frac{\bigl|\sin(h^{5})\bigr|}{h} \sim\frac{|h|^{5}}{h} =|h|^{4}\,\frac{|h|}{h}
e como |h|^{4}\to0 e \frac{|h|}{h}=\pm1 permanece limitado, o limite vale 0.
Portanto
f'(0)=0,
e f é derivável em x_{0}=0.

Resposta

f é contínua e derivável em x_{0}=0, com f'(0)=0.

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