Use o teste da integral para verificar se as séries abaixo convergem ou divergem:
sumn=1^+infty 1n raizn

Passo 1

Resumindo o enunciado: a série é
sumn=1^+infty1nraizn. Para aplicar o teste da integral, definimos a função
f(x)=1xraizx=x^-3/2, que deve ser contínua, positiva e decrescente em [1,infty). O teste diz que a série converge se, e somente se, a integral imprópria
integral1^inftyf(x),dx for finita.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do teste: como f(x)=x^-3/2, temos f(x)>0 e a derivada
f'(x)=-tfrac32x^-5/2<0
para x>=1. Logo f é contínua, positiva e decrescente em [1,infty), satisfazendo as condições do teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria:
integral1^inftyx^-3/2,dx =limbtoinftyintegral1^bx^-3/2,dx =limbtoinftyl[-2x^-1/2r]1^b =limbtoinftyl(-2b^-1/2+2r) =2
Como o resultado é finito, a integral converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como integral1^inftyf(x),dx converge, concluímos que a série
sumn=1^+infty1nraizn também converge.

Resposta

A série converge.

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