17^ a Questão

Escrevendo o vetor u=(1,-2,5) como combinação linear de v1=(1,1,1), v2=(1,2,3) e3=(2,-1,1), teremos:
(a) u=5 cdot v1-2 cdot v2+v3
(b) u=3 cdot v1+2 cdot v2+v3
(c) u=-6 cdot v1+3 cdot v2+2 cdot v3
(d) u=-7 cdot v1+v2+v3
(e) u=v1+3 cdot v2+5 cdot v3

Passo 1

E aí! O enunciado pede para escrever o vetor
u = (1,,-2,,5)
como combinação linear dos vetores
v1=(1,1,1), v2=(1,2,3), v3=(2,-1,1)
Isso é Álgebra Linear: combinação linear significa achar escalares a,b,c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = u
Para resolver, precisamos montar um sistema de equações pelas coordenadas e usar eliminação para encontrar a,b,c.

Passo 2

Escrevendo direto a combinação em coordenadas:
a,(1,1,1) + b,(1,2,3) + c,(2,-1,1) ;=;(1,-2,5)
Isso gera, coordenada a coordenada, o sistema
a + b + 2c = 1, a + 2b - c = -2, a + 3b + c = 5

Passo 3

Vamos eliminar a. Subtraindo a primeira linha da segunda e da terceira:
Da segunda menos a primeira:
(a+2b-c),-,(a+b+2c)= -2 - 1 ;Longrightarrow; b - 3c = -3
Da terceira menos a primeira:
(a+3b+c),-,(a+b+2c)= 5 - 1 ;Longrightarrow; 2b - c = 4

Passo 4

Agora temos um sistema só em [b,c):
Da segunda equação, (c = 2b - 4]. Substituindo na primeira:
Logo .

Passo 5

Agora voltamos em qualquer equação original para achar a. Pela primeira:
a + b + 2c = 1 ;Longrightarrow; a + 3 + 2cdot2 = 1 ;Longrightarrow; a + 7 = 1 ;Longrightarrow; a = -6

Resposta

u = -6·v₁ + 3·v₂ + 2·v₃, ou seja, alternativa (c).

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