17 (M) Resolva: frac{d y}{d x}=\left(x^{2}+1\right) \cdot \sqrt{y}, \quad y>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\left(x^{2}+1\right)\cdot \sqrt{y},\qquad y>0.
Informações dadas:
\text{– A equação relaciona } \frac{d y}{d x} \text{ com } x \text{ e } y.çã
\text{– A incógnita é a função } y=y(x).óéçã
\text{– Há a condição } y>0 \text{ (isso garante que } \sqrt{y} \text{ é real e positiva).}áçãé
O que se pede: encontrar a família geral de soluções y(x) que satisfazem essa equação diferencial.

Passo 2

Escolhemos um método: separar variáveis (porque a equação pode ser escrita com todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro). Separar variáveis significa manipular a equação para obter algo da forma g(y)\,dy = h(x)\,dx, e então integrar ambos os lados.
Partimos de
\frac{d y}{d x}=\left(x^{2}+1\right)\sqrt{y}.
Como y>0, \sqrt{y} é positivo, podemos dividir por \sqrt{y}. Escrevemos \sqrt{y}=y^{1/2}. Então
y^{-1/2}\,\frac{d y}{d x}=x^{2}+1.
Multiplicando ambos os lados por dx obtemos a forma separada:
y^{-1/2}\,dy=(x^{2}+1)\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Explico primeiro as integrais:
  • Para a integral em y: usamos a regra da potência para primitiva. Se \alpha\neq -1, \int y^\alpha\,dy=\dfrac{y^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C. Aqui \alpha=-\tfrac{1}{2}, então
\int y^{-1/2}\,dy=\frac{y^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1}+C=\frac{y^{1/2}}{1/2}+C=2\,y^{1/2}+C.
Explicando: y^{1/2}=\sqrt{y}, e dividir por 1/2 equivale a multiplicar por 2.
  • Para a integral em x: \int (x^{2}+1)\,dx=\int x^{2}\,dx+\int 1\,dx=\frac{x^{3}}{3}+x + C. Isso vem novamente da regra da potência para x^2 (a primitiva de x^n é x^{n+1}/(n+1)) e da primitiva de 1 que é x.
Portanto, integrando os dois lados:
\int y^{-1/2}\,dy = \int (x^{2}+1)\,dx
2\,y^{1/2}=\frac{x^{3}}{3}+x + C,
onde C é a constante de integração (uma constante arbitrária real).

Passo 4

Isolamos y. Primeiro dividimos por 2:
y^{1/2}=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{3}}{3}+x + C\right).
É conveniente absorver o fator 1/2 na constante C. Definimos K=\dfrac{C}{2} (aqui K é outra constante arbitrária real). Assim
y^{1/2}=\frac{x^{3}}{6}+\frac{x}{2}+K.
Agora elevamos ao quadrado para obter y:
y=\left(\frac{x^{3}}{6}+\frac{x}{2}+K\right)^{2}.
Como no enunciado temos y>0, devemos escolher a constante K e o intervalo de x de modo que o lado direito seja positivo; a forma quadrática ao quadrado é não negativa, e para manter y>0 exigimos que a expressão entre parênteses não seja zero no domínio considerado (ou então considerar intervalos onde ela é estritamente positiva).

Passo 5

Vamos checar rapidamente que a solução funciona (verificação é um bom hábito na prova). Defina
\varphi(x)=\frac{x^{3}}{6}+\frac{x}{2}+K,
então y=\varphi(x)^{2}. Pela regra da cadeia,
\frac{d y}{d x}=2\varphi(x)\,\varphi'(x).
Calculamos \varphi'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{6}+\frac{x}{2}+K\right)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{x^{2}+1}{2}.
Substituindo,
\frac{d y}{d x}=2\varphi(x)\cdot\frac{x^{2}+1}{2}=\varphi(x)\,(x^{2}+1).
Como \varphi(x)=\sqrt{y}, obtemos
\frac{d y}{d x}=(x^{2}+1)\sqrt{y},
que é exatamente a equação original. Logo a família encontrada está correta.

Resposta

y=\left(\frac{x^{3}}{6}+\frac{x}{2}+C\right)^{2},\quad \text{onde }C\in\mathbb{R}\text{ é constante arbitrária (e deve ser escolhida para manter }y>0\text{ no domínio).}éáí

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