17 (M) Resolva:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
O que se pede: encontrar a família geral de soluções
que satisfazem essa equação diferencial.
Passo 2
Escolhemos um método: separar variáveis (porque a equação pode ser escrita com todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro). Separar variáveis significa manipular a equação para obter algo da forma
, e então integrar ambos os lados.
Partimos de
Como
,
é positivo, podemos dividir por
. Escrevemos
. Então
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a forma separada:
Passo 3
Agora integramos os dois lados. Explico primeiro as integrais:
- Para a integral em
: usamos a regra da potência para primitiva. Se , . Aqui , então
Explicando:
, e dividir por
equivale a multiplicar por
.
- Para a integral em
: . Isso vem novamente da regra da potência para (a primitiva de é ) e da primitiva de que é .
Portanto, integrando os dois lados:
dá
onde
é a constante de integração (uma constante arbitrária real).
Passo 4
Isolamos
. Primeiro dividimos por
:
É conveniente absorver o fator
na constante
. Definimos
(aqui
é outra constante arbitrária real). Assim
Agora elevamos ao quadrado para obter
:
Como no enunciado temos
, devemos escolher a constante
e o intervalo de
de modo que o lado direito seja positivo; a forma quadrática ao quadrado é não negativa, e para manter
exigimos que a expressão entre parênteses não seja zero no domínio considerado (ou então considerar intervalos onde ela é estritamente positiva).
Passo 5
Vamos checar rapidamente que a solução funciona (verificação é um bom hábito na prova). Defina
então
. Pela regra da cadeia,
Calculamos
.
Substituindo,
Substituindo,
Como
, obtemos
que é exatamente a equação original. Logo a família encontrada está correta.