1.1.17. Seja

D=[cccc lambda1 & 0 & ldots & 0 0 & lambda2 & ldots & 0 vdots & & ddots & vdots 0 & ldots & 0 & lambdan ]
uma matriz diagonal n times n, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja
A=[cccc a11 & a12 & ldots & a1 n a21 & a22 & ldots & a2 n vdots & & ldots & vdots an 1 & an 2 & cdots & an n ]
(a) Mostre que o produto A D é obtido da matriz A multiplicando-se cada coluna j por lambdaj, ou seja, se
r A=[lll A1 & A2 ldots An ] , em que Aj=[c a1 j vdots an j ] é a coluna j de A , então A D=[lambda1 A1 lambda2 A2 ldots lambdan An] éã
(b) Mostre que o produto D A é obtido da matriz A multiplicando-se cada linha i por lambdai, ou seja, se
A=[cA1 A2 vdots An], em que Ai=[ai 1 ldots ai n] é a linha i de A, então
c lambda1 A1 lambda2 A2 vdots lambdan An

Passo 1

O enunciado apresenta uma matriz diagonal
D = lambda1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda2 & cdots & 0 vdots & & ddots & vdots 0 & cdots & 0 & lambdan
e uma matriz arbitrária
A = l[aijr]i,j=1^n
Queremos mostrar duas coisas:
a) que as colunas de A D são lambdaj vezes as colunas de A;
b) que as linhas de D A são lambdai vezes as linhas de A.

Passo 2

Para a parte (a), usamos a definição de multiplicação de matrizes:
(A D)ij ;=;sumk=1^naik,dkj
Como D é diagonal, dkj=0 sempre que kneq j e djj=lambdaj. Logo
(A D)ij = aij,lambdaj

Passo 3

Da igualdade (A D)ij=aijlambdaj segue que a coluna j de A D é
a1jlambdaj a2jlambdaj vdots anjlambdaj = lambdaj a1j a2j vdots anj =lambdajAj
Portanto
A D = l[lambda1A1;;lambda2A2;cdots;lambdanAnr]

Passo 4

Para a parte (b), de novo pela definição de produto:
(D A)ij ;=;sumk=1^ndik,akj
Como D é diagonal, dik=0 para ineq k e dii=lambdai. Logo
(D A)ij = lambdai,aij

Passo 5

Isso mostra que a linha i de D A é
l(lambdaiai1,,lambdaiai2,dots,lambdaiainr) =lambdail(ai1,ai2,dots,ainr) =lambdaiAi
Logo
D A = lambda1A1 lambda2A2 vdots lambdanAn

Resposta

(a) A D = [lambda1A1;lambda2A2;dots;lambdanAn]
(b) D A = l[lambda1A1;,lambda2A2;,dots;,lambdanAnr]

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