Para as funções dos exercícios 18. a 22., determine e classifique os pontos críticos, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
O conteúdo necessário é: 1) computar as derivadas parciais para achar onde o gradiente é zero; 2) usar as segundas derivadas (matriz Hessiana) para classificar cada ponto crítico (máximo, mínimo ou sela).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
. Seja
.
A derivada em relação a é
A derivada em relação a
A derivada em relação a
é
Passo 3
Para pontos críticos fazemos
e
.
Da equação vem
ou
.
Da equação
- Se
, então , não dá ponto crítico. - Se
, então implica , ou seja .
Logo os pontos críticos são
Passo 4
Agora obtemos as segundas derivadas para montar a Hessiana:
Em cada ponto crítico temos
e
, assim
.
Para :
Para
logo o determinante da Hessiana
e
indicam máximo local.
Para :
Para
aí
e
indicam mínimo local.
Resposta
O ponto
é um máximo local e o ponto
é um mínimo local.