Para as funções dos exercícios 18. a 22., determine e classifique os pontos críticos, se existirem.
f(x, y)=x e^-(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x,e^-l(x^2+y^2r)
O conteúdo necessário é: 1) computar as derivadas parciais para achar onde o gradiente é zero; 2) usar as segundas derivadas (matriz Hessiana) para classificar cada ponto crítico (máximo, mínimo ou sela).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Seja r^2=x^2+y^2.
A derivada em relação a x é
fx =partialpartial xl(xe^-r^2r) =e^-r^2-2x^2e^-r^2 =e^-r^2l(1-2x^2r)
A derivada em relação a y é
fy =partialpartial yl(xe^-r^2r) =-2x,y,e^-r^2

Passo 3

Para pontos críticos fazemos fx=0 e fy=0.
Da equação fy= -2x,y,e^-r^2=0 vem x=0 ou y=0.
  • Se x=0, então fx=e^-y^2(1-0)=e^-y^2neq0, não dá ponto crítico.
  • Se y=0, então fx=e^-x^2(1-2x^2)=0 implica 1-2x^2=0, ou seja x=pm1raiz2.
    Logo os pontos críticos são
l(tfrac1raiz2,,0r) e l(-tfrac1raiz2,,0r)

Passo 4

Agora obtemos as segundas derivadas para montar a Hessiana:
fxx =e^-r^2l(4x^3-6xr), fyy =2x,e^-r^2l(2y^2-1r), fxy =-2y,(1-2x^2),e^-r^2
Em cada ponto crítico temos y=0 e r^2=x^2=tfrac12, assim fxy=0.
Para x=tfrac1raiz2:
fxx=-2raiz2,e^-1/2<0, fyy=-raiz2,e^-1/2<0,
logo o determinante da Hessiana
D=fxxfyy=(,-2raiz2,e^-1/2)(-raiz2,e^-1/2)>0
e fxx<0 indicam máximo local.
Para x=-tfrac1raiz2:
fxx=+2raiz2,e^-1/2>0, fyy=+raiz2,e^-1/2>0,
D>0 e fxx>0 indicam mínimo local.

Resposta

O ponto l(tfrac1raiz2,0r) é um máximo local e o ponto l(-tfrac1raiz2,0r) é um mínimo local.

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