Sejam E1=[c1 0 0 vdots 0], E2=[c0 1 0 vdots 0], ldots, En=[c0 0 vdots 0 1] matrizes n times 1.
(a) Mostre que se
A=[cccc a11 & a12 & ldots & a1 n a21 & a22 & ldots & a2 n vdots & & ldots & vdots am 1 & am 2 & cdots & am n ]
é uma matriz m times n, então A Ej é igual à coluna j da matriz A.
(b) Mostre que se
B=[cccc b11 & b12 & ldots & b1 m b21 & b22 & cdots & b2 m vdots & & cdots & vdots bn 1 & bn 2 & cdots & bn m ]
é uma matriz n times m então Ei^t B é igual à linha i da matriz B.

Passo 1

O enunciado define os vetores-coluna canônicos ,E1,dots,Enin R^ntimes1 e duas matrizes
Ain R^mtimes n, Bin R^ntimes m,
e pede para mostrar que multiplicar A por Ej seleciona a coluna j de A e que multiplicar Ei^T por B seleciona a linha i de B. Vamos usar a definição componente a componente do produto de matrizes.

Passo 2

Definimos , em que é a coluna de . Para qualquer o -ésimo elemento do produto é
Mas , onde se e caso contrário. Logo
Como isso vale para todo , segue
ou seja, o produto é exatamente a coluna de .

Passo 3

Agora escrevemos B em termos de suas linhas: seja B composto das linhas ,R1,dots,Rn. O vetor-linha canônico Ei^Tin R^1times n tem (Ei^T)k=de<aik. Então, para cada coluna jin1,dots,m, o j-ésimo elemento de Ei^T B é
(Ei^T B)j ;=;sumk=1^n (Ei^T)k,bkj ;=;sumk=1^n de<aik,bkj ;=;bij
Portanto
Ei^T B = l(bi1,,bi2,dots,bi mr)=Ri,
ou seja, Ei^T B é a linha i de B.

Resposta

(a) AEj é a coluna j da matriz A.
(b) Ei^T B é a linha i da matriz B.

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