Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
y=raiz[3]e^x, x=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função
y = raiz[3]e^x
no ponto de abscissa x=0.
Para isso, precisamos (1) determinar a derivada y'(x) e (2) avaliar y(0) e y'(0).

Passo 2

Reescrevendo a função de forma mais conveniente:
y = raiz[3]e^x = l(e^xr)^tfrac13 = e^tfracx3

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para achar y'(x). Seja u(x)=e^x e y(u)=u^1/3. Então
dydx = dydu,dudx = 13u^-tfrac23cdot e^x = 13l(e^xr)^-tfrac23e^x = 13e^x - tfrac2x3 = 13e^tfracx3

Passo 4

No ponto x=0:
y(0) = e^0/3 = 1, y'(0) = 13e^0/3 = 13

Passo 5

A equação da reta tangente em x0=0 com coeficiente angular m=y'(0) e passando por (0,y(0)) é
y - y(0) = m,(x - 0) ;;Longrightarrow;; y - 1 = 13x ;;Longrightarrow;; y = 13x + 1

Resposta

A reta tangente é y = 13x + 1.

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