Usando coordenadas esféricas, mostre que A= -phi cot thetar é solução de nabla times A=rr^2. Dica:
nabla times V=1h1 h2 h3|ccc q1 h1 & q2 h2 & q3 h3 partialpartial q1 & partialpartial q2 & partialpartial q3 h1 V1 & h2 V2 & h3 V3 |

Passo 1

Neste exercício a gente quer mostrar que o campo vetorial A=-phi,cotthetar satisfaz nablatimesA=rr^2. O conteúdo é cálculo vetorial em coordenadas esféricas e vamos usar fatores de escala e a fórmula do rotacional.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as variáveis (q1,q2,q3)=(r,theta,phi) com fatores de escala h1=1, h2=r, h3=rsintheta. O campo tem componentes Ar=0, Atheta=0 e Aphi=-cottheta/r.

Passo 3

A fórmula geral do rotacional em coordenadas curvilíneas ortogonais é
nablatimes V=1h1h2h3 q1h1 & q2h2 & q3h3 partialpartial q1 & partialpartial q2 & partialpartial q3 h1V1 & h2V2 & h3V3

Passo 4

Só o componente radial fica não nulo. Usando
(nablatimes A)r=1h2h3l[partialpartialtheta(h3Aphi)-partialpartialphi(h2Atheta)r],
e como Atheta=0 e h3Aphi=rsintheta(-cottheta/r)=-costheta, temos
(nablatimes A)r=1r(rsintheta)ddtheta(-costheta) =1r^2sintheta(sintheta)=1r^2

Passo 5

Os componentes theta e phi do rotacional são zero por derivadas de componentes nulas ou independência de phi. Assim chegamos em
nablatimes A=rr^2,
que é exatamente o que queríamos.

Resposta

nablatimes A=dfracrr^2

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