Converta as integrais abaixo para coordenadas polares e resolva-as.
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral-1^1integral0^raiz1-x^2dy,dx convertendo para coordenadas polares. O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas, usando as relações x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Para descrever a região em coordenadas polares, note que x^2+y^2=1 é o círculo unitário e y>=0 limita à semicircunferência superior. Assim, r varia de 0 a 1 e theta varia de 0 a pi.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos a integral em polares:
integraltheta=0^piintegralr=0^1r,dr,dtheta

Passo 4

Agora, calcule primeiro a integral em r:
integral0^1r,dr=12r^2|0^1=12

Passo 5

Por fim, integre em theta:
integral0^pi12,dtheta=12theta|0^pi=pi2

Resposta

tfracpi2

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