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Sejam
e
conjuntos e
uma função. Sejam também
e
.
(a) Mostre que
.
Sejam
(a) Mostre que
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas conjuntos,
e
, e uma função
. Também temos um subconjunto
de
. O enunciado quer que a gente mostre que
está contido em
.
Aqui,
significa a imagem de
pela função
, ou seja, todos os elementos em
que são obtidos aplicando
aos elementos de
. Já
é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para algum elemento de
pela função
. Nosso objetivo é provar que todo elemento de
também está em
.
Passo 2
Para mostrar que
, vamos pegar um elemento qualquer
que está em
e mostrar que ele também está em
.
Passo 3
Sabemos que
. A aplicação da função
em
nos dá
, que por definição está em
, já que
está em
.
Passo 4
Agora, para
estar em
, precisamos que
esteja em
. Mas acabamos de ver que
está exatamente em
, então
deve estar em
.
Resposta
Assim, mostramos que todo
em
também está em
, ou seja,
.