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Sejam X e Y conjuntos e f: X -> Y uma função. Sejam também A ⊆ X e B ⊆ Y.
(a) Mostre que A ⊆ f^(-1)[f[A]].

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas conjuntos, e , e uma função . Também temos um subconjunto de . O enunciado quer que a gente mostre que está contido em .
Aqui, significa a imagem de pela função , ou seja, todos os elementos em que são obtidos aplicando aos elementos de . Já é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para algum elemento de pela função . Nosso objetivo é provar que todo elemento de também está em .

Passo 2

Para mostrar que , vamos pegar um elemento qualquer que está em e mostrar que ele também está em .

Passo 3

Sabemos que . A aplicação da função em nos dá , que por definição está em , já que está em .

Passo 4

Agora, para estar em , precisamos que esteja em . Mas acabamos de ver que está exatamente em , então deve estar em .

Resposta

Assim, mostramos que todo em também está em , ou seja, .

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