Sejam
e
conjuntos e
uma função. Sejam também
e
. Mostre que:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a imagem da interseção de dois conjuntos
e
por uma função
está contida na interseção das imagens desses conjuntos individualmente. Vamos usar conceitos de funções, imagem de conjuntos e interseção de conjuntos para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de um conjunto por uma função. A imagem de um conjunto
pela função
é o conjunto de todos os elementos
onde
pertence a
. Em notação, escrevemos:
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a interseção de dois conjuntos. A interseção
é o conjunto dos elementos que estão tanto em
quanto em
. Ou seja:
Passo 4
Vamos provar que
. Para isso, pegamos um elemento qualquer
que pertence a
. Isso significa que existe um elemento
em
tal que
.
Passo 5
Como
está em
, ele está tanto em
quanto em
. Portanto,
está em
e também está em
. Logo,
pertence à interseção
.
Resposta
Assim, mostramos que todo elemento de
também está em
. Portanto: