Sejam X e Y conjuntos e f: X -> Y uma função. Sejam também A1, A2 subseteq X e B1, B2 ⊆ Y. Mostre que:
(b) f[A1 ∩ A2] ⊆ f[A1] ∩ f[A2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a imagem da interseção de dois conjuntos e por uma função está contida na interseção das imagens desses conjuntos individualmente. Vamos usar conceitos de funções, imagem de conjuntos e interseção de conjuntos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de um conjunto por uma função. A imagem de um conjunto pela função é o conjunto de todos os elementos onde pertence a . Em notação, escrevemos:

Passo 3

Agora, vamos entender o que é a interseção de dois conjuntos. A interseção é o conjunto dos elementos que estão tanto em quanto em . Ou seja:

Passo 4

Vamos provar que . Para isso, pegamos um elemento qualquer que pertence a . Isso significa que existe um elemento em tal que .

Passo 5

Como está em , ele está tanto em quanto em . Portanto, está em e também está em . Logo, pertence à interseção .

Resposta

Assim, mostramos que todo elemento de também está em . Portanto:

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