18- Dada a função
a) Calcular
b) Verificar que
a) Calcular
b) Verificar que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) as derivadas parciais de terceira ordem
e
, e (b) mostrar que
O conteúdo envolve derivadas parciais de funções exponenciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais em
sucessivas. A regra da cadeia diz que
Logo
Passo 3
Agora as derivadas parciais em
. Pela mesma regra da cadeia,
Assim
Passo 4
Para verificar a igualdade de derivadas mistas, calculamos primeiro
Passo 5
Em seguida calculamos
A primeira derivada em
dá
,
e a segunda
e a segunda
Passo 6
Como ambas as derivadas mistas de ordem três valem
, concluímos que
como previsto pelo teorema de Clairaut.