\mathbf{3}^{\mathbf{a}} Questão) Um recipiente esférico e oco de ferro com 20 cm de diâmetro externo e 0,4 \mathrm{~cm} de espessura contém uma mistura de água e gelo a 0^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que a temperatura da superfície externa é de 5^{\circ} \mathrm{C}, determine a taxa aproximada de perda de calor da esfera em kW e a taxa em que gelo derrete no recipiente. O calor de fusão da água é de 333,7 \mathrm{KJ} / \mathrm{Kg}. A condutividade térmica do ferro é 80.2 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}.
Solução: q=-12,632 \mathrm{~W} e \dot{m}=0,038 \mathrm{Kg} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá um recipiente esférico oco de ferro com diâmetro externo 20\\ \text{cm} e espessura de 0,4\\ \text{cm}. O interior contém água+gelo a 0^\circ\mathrm{C}. A superfície externa da casca está a 5^\circ\mathrm{C}. Pedem:
  • a taxa aproximada de perda/ganho de calor da esfera em kW (ou seja, q, taxa de calor através da parede);
  • a taxa de fusão do gelo em \mathrm{kg}/\mathrm{s} gerada por esse fluxo de calor.
Informações numéricas fornecidas (vou converter para unidades do SI):
  • diâmetro externo =20\\ \text{cm} \Rightarrow raio externo r_2 = 0,10\\ \mathrm{m};
  • espessura da parede =0,4\\ \text{cm} = 0,004\\ \mathrm{m} \Rightarrow raio interno r_1 = r_2 - 0,004 = 0,096\\ \mathrm{m};
  • temperatura interna (mistura) T_i = 0^\circ\mathrm{C};
  • temperatura da superfície externa T_o = 5^\circ\mathrm{C};
  • condutividade térmica do ferro k = 80,2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot{^\circ}\mathrm{C};
  • calor latente de fusão L_f = 333{,}7\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg} = 333700\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}.
O que precisamos calcular: a taxa de calor estacionária através da casca e, com essa potência, a velocidade de fusão \dot{m} = |q|/L_f. No passo seguinte vamos desenvolver a fórmula que permite calcular q para uma casca esférica.

Passo 2

Deduzindo a fórmula para condução radial em uma casca esférica (aulas rapidinhas, bem devagarinho).
Quando o fluxo de calor é radial e estacionário, a lei local de condução de Fourier em coordenadas esféricas é
q_r = -k\,A(r)\,\frac{dT}{dr},
onde:
  • q_r é a taxa de calor (W) atravessando a superfície esférica de raio r (independente de r em regime estacionário);
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot{^\circ}\mathrm{C});
  • A(r) é a área da esfera de raio r: A(r)=4\pi r^{2};
  • \dfrac{dT}{dr} é o gradiente radial de temperatura.
Como q_r independe de r em regime estacionário, podemos separar as variáveis e integrar entre r_1 (interior) e r_2 (externo):
q = -k\cdot 4\pi \int_{r_1}^{r_2} r^{2}\frac{dT}{dr}\,dr.
Fazendo a separação de variáveis de forma usual (colocar termos em T de um lado e em r do outro) resulta na forma padrão de resistência térmica para casca esférica. O resultado (mostrado em muitas aulas e obtido integrando) é:
q = 4\pi k\;\frac{T_i - T_o}{\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}}.
Explicando cada termo:
  • T_i é a temperatura do lado interno (aqui 0^\circ\mathrm{C});
  • T_o é a temperatura da superfície externa (aqui 5^\circ\mathrm{C});
  • \dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2} aparece porque a resistência térmica radial de uma casca esférica é R_{\text{cond}}=\dfrac{1}{4\pi k}\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right). Assim q=(T_i-T_o)/R_{\text{cond}}.
Observação sobre o sinal: se T_i<T_o (como aqui, 0^\circ\mathrm{C}<5^\circ\mathrm{C}), então T_i-T_o é negativo e q fica negativo no sistema de sinais escolhido — isto indica que o fluxo de calor, pela fórmula dada, é no sentido do exterior para o interior (entrada de calor na mistura). Para a taxa de fusão interessa o módulo |q|.

Passo 3

Substituição numérica (unidades SI, com cuidado nas conversões).
Valores:
r_2 = 0,10\\ \mathrm{m},\qquad r_1 = 0,096\\ \mathrm{m},
k = 80{,}2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot{^\circ}\mathrm{C},\qquad T_i=0^\circ\mathrm{C},\\ T_o=5^\circ\mathrm{C}.
Calculemos o denominador \dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}:
\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}=\frac{1}{0,096}-\frac{1}{0,10}=10{,}416666\ldots-10=0{,}416666\ldots\\ \mathrm{m}^{-1}.
Calculemos 4\pi k:
4\pi k = 4\pi\cdot 80{,}2 \approx 1007{,}822923\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.
Agora T_i-T_o = 0-5 = -5\\ ^\circ\mathrm{C}. Substituindo na fórmula:
q = 4\pi k\;\frac{T_i - T_o}{\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}} = 1007{,}822923\cdot\frac{-5}{0{,}4166666667}.
Façamos a divisão:
\frac{-5}{0{,}4166666667} \approx -12{,}0\quad(\text{aproximadamente }-12{,}0000).
Multiplicando:
q \approx 1007{,}822923\times(-12{,}0)\approx -12093{,}9\\ \mathrm{W}.
Converter para kW:
q \approx -12{,}09\\ \mathrm{kW}.
Interpretação do sinal: o valor negativo indica que o fluxo de calor, conforme as temperaturas dadas, vai do exterior para o interior (o interior ganha calor). Se preferir, o módulo |q| é 12{,}09\\ \mathrm{kW}.

Passo 4

Taxa de fusão do gelo.
A energia necessária para fundir massa m de gelo é Q = m L_f. Em regime estacionário a potência fornecida ao gelo é |q|, logo a razão de massa que funde por segundo é
\dot{m}=\frac{|q|}{L_f}.
Usando |q|=12093{,}9\\ \mathrm{W} e L_f=333700\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}:
\dot{m}=\frac{12093{,}9}{333700}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}\approx 0{,}0363\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
Em palavras: cerca de 0{,}036\\ \mathrm{kg} de gelo derretem por segundo sob esse fluxo de calor.

Passo 5

Checagem rápida de consistência e observações práticas:
  • Unidade e ordem de grandeza fazem sentido: uma casca metálica fina com diferença de temperatura de 5^\circ\mathrm{C} pode conduzir da ordem de 10^{4}\\ \mathrm{W} se a condutividade é alta (ferro tem k grande).
  • No cálculo assumi regime estacionário e que a temperatura na superfície externa é conhecida e constante em 5^\circ\mathrm{C}. Se houvesse resistência de convecção com o fluido externo ou não se conhecesse a temperatura da superfície, a conta mudaria (apareceria uma resistência de convecção adicional).
  • O sinal negativo indica que o calor flui do exterior para o interior; para a taxa de fusão usei o módulo do fluxo.

Resposta

q\approx -12{,}09\\ \mathrm{kW}
\dot{m}\approx 0{,}0363\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}

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