Questão) Um recipiente esférico e oco de ferro com 20 cm de diâmetro externo e
de espessura contém uma mistura de água e gelo a
. Considerando que a temperatura da superfície externa é de
, determine a taxa aproximada de perda de calor da esfera em kW e a taxa em que gelo derrete no recipiente. O calor de fusão da água é de 333,7
. A condutividade térmica do ferro é
.
Solução:
e
Passo 1
O enunciado dá um recipiente esférico oco de ferro com diâmetro externo
e espessura de
. O interior contém água+gelo a
. A superfície externa da casca está a
. Pedem:
- a taxa aproximada de perda/ganho de calor da esfera em kW (ou seja,
, taxa de calor através da parede); - a taxa de fusão do gelo em
gerada por esse fluxo de calor.
Informações numéricas fornecidas (vou converter para unidades do SI):
- diâmetro externo
raio externo ; - espessura da parede
raio interno ; - temperatura interna (mistura)
; - temperatura da superfície externa
; - condutividade térmica do ferro
; - calor latente de fusão
.
O que precisamos calcular: a taxa de calor estacionária através da casca e, com essa potência, a velocidade de fusão
. No passo seguinte vamos desenvolver a fórmula que permite calcular
para uma casca esférica.
Passo 2
Deduzindo a fórmula para condução radial em uma casca esférica (aulas rapidinhas, bem devagarinho).
Quando o fluxo de calor é radial e estacionário, a lei local de condução de Fourier em coordenadas esféricas é
onde:
-
é a taxa de calor (W) atravessando a superfície esférica de raio (independente de em regime estacionário); -
é a condutividade térmica ( ); -
é a área da esfera de raio : ; -
é o gradiente radial de temperatura.
Como
independe de
em regime estacionário, podemos separar as variáveis e integrar entre
(interior) e
(externo):
Fazendo a separação de variáveis de forma usual (colocar termos em
de um lado e em
do outro) resulta na forma padrão de resistência térmica para casca esférica. O resultado (mostrado em muitas aulas e obtido integrando) é:
Explicando cada termo:
-
é a temperatura do lado interno (aqui ); -
é a temperatura da superfície externa (aqui ); -
aparece porque a resistência térmica radial de uma casca esférica é . Assim .
Observação sobre o sinal: se
(como aqui,
), então
é negativo e
fica negativo no sistema de sinais escolhido — isto indica que o fluxo de calor, pela fórmula dada, é no sentido do exterior para o interior (entrada de calor na mistura). Para a taxa de fusão interessa o módulo
.
Passo 3
Substituição numérica (unidades SI, com cuidado nas conversões).
Valores:
Calculemos o denominador
:
Calculemos
:
Agora
. Substituindo na fórmula:
Façamos a divisão:
Multiplicando:
Converter para kW:
Interpretação do sinal: o valor negativo indica que o fluxo de calor, conforme as temperaturas dadas, vai do exterior para o interior (o interior ganha calor). Se preferir, o módulo
é
.
Passo 4
Taxa de fusão do gelo.
A energia necessária para fundir massa
de gelo é
. Em regime estacionário a potência fornecida ao gelo é
, logo a razão de massa que funde por segundo é
Usando
e
:
Em palavras: cerca de
de gelo derretem por segundo sob esse fluxo de calor.
Passo 5
Checagem rápida de consistência e observações práticas:
- Unidade e ordem de grandeza fazem sentido: uma casca metálica fina com diferença de temperatura de
pode conduzir da ordem de se a condutividade é alta (ferro tem grande). - No cálculo assumi regime estacionário e que a temperatura na superfície externa é conhecida e constante em
. Se houvesse resistência de convecção com o fluido externo ou não se conhecesse a temperatura da superfície, a conta mudaria (apareceria uma resistência de convecção adicional). - O sinal negativo indica que o calor flui do exterior para o interior; para a taxa de fusão usei o módulo do fluxo.